APÊNDICE A:  TABELAS TABELA A-1   PROPRIEDADES DA ÁGUA (em unidades do SI) Temperatura (°C) Gravidade Específica Densidade (g/cm3) Calor de Vaporização (cal/g) Viscosidade Pressão de Vapor Absoluta (cp) Cinemática (cs) (mm Hg) (mb) (g/cm2) 0 0,99987 0,99984 597,3 1,790 1,790 4,58 6,11 6,23 5 0,99999 0,99996 594,5 1,520 1,520 6,54 8,72 8,89 10 0,99973 0,99970 591,7 1,310 1,310 9,20 12,27 12,51 15 0,99913 0,99910 588,9 1,140 1,140 12,78 17,04 17,38 20 0,99824 0,998211 586,0 1,000 1,000 17,53 23,37 23,83 25 0,99708 0,99705 583,2 0,890 0,893 23,76 31,67 32,20 30 0,99568 0,99565 580,4 0,798 0,801 31,83 42,43 43,27 35 0,99407 0,99404 577,6 0,719 0,723 42,18 56,24 57,34 40 0,99225 0,99222 574,7 0,653 0,658 55,34 73,78 75,23 50 0,98807 0,98804 569,0 0,547 0,554 92,56 123,40 125,83 60 0,98323 0,98320 563,2 0,466 0,474 149,46 199,26 203,19 70 0,97780 0,97777 557,4 0,404 0,413 233,79 311,69 317,84 80 0,97182 0,97179 551,4 0,355 0,365 355,28 473,67 483,01 90 0,96534 0,96531 545,3 0,315 0,326 525,89 701,13 714,95 100 0,95839 0,95836 539,1 0,282 0,294 760,00 1013,25 1033,23 Fonte:  Linsley, R. K. et al. (1982). Hydrology for Engineers. 3d. ed., New York: McGraw-Hill. TABELA A-2   PROPRIEDADES DA ÁGUA (em unidades comuns nos EUA) Temperatura (°F) Gravidade Específica Densidade (lb/pés3) Calor de Vaporização (Btu/lb) Viscosidade 1 Pressão de Vapor Absoluta (lbs/pés2) Cinemática (pés2/s) (mm Hg) (mb) (lb/polegada2) 32 0,99986 62,418 1075,5 3,746 1,931 0,180 6,11 0,089 40 0,99998 62,426 1071,0 3,229 1,664 0,248 8,39 0,122 50 0,99971 62,409 1065,3 2,735 1,410 0,362 12,27 0,178 60 0,99902 62,366 1059,7 2,359 1,217 0,522 17,66 0,256 70 0,99798 62,301 1054,0 2,050 1,058 0,739 25,03 0,363 80 0,99662 62,216 1048,4 1,799 0,930 1,032 34,96 0,507 90 0,99497 62,113 1042,7 1,595 0,826 1,422 48,15 0,698 100 0,99306 61,994 1037,1 1,424 0,739 1,933 65,47 0,950 120 0,98856 61,713 1025,6 1,168 0,609 3,448 116,75 1,693 140 0,98321 61,379 1014,0 0,981 0,514 5,884 199,26 2,890 160 0,97714 61,000 1002,2 0,838 0,442 9,656 326,98 4,742 180 0,97041 60,580 990,2 0,726 0,386 15,295 517,95 7,512 200 0,96306 60,121 977,9 0,637 0,341 23,468 794,72 11,526 212 0,95837 59,828 970,3 0,593 0,319 29,921 1013,25 14,696 1 Para obter valores de viscosidade, multiplique os valores mostrados na Tabela por 10-5. Fonte:  Linsley, R. K. et al. (1982). Hydrology for Engineers. 3d. ed., New York: McGraw-Hill.

APÊNDICE B:  DERIVAÇÃO DO COEFICIENTE DE DIFUSÃO NUMÉRICA DO MÉTODO DE MUSKINGUM-CUNGE Fig. B-1  Discretização espaço-temporal da equação da onda cinemática. Expandindo a função da grade Q( jΔx,nΔt ) (Fig. B-1) na série dos pontos de Taylor (jΔx,nΔt ) leva ao seguinte:                                   ∂Q                   1      ∂2Q Q j n+1  =  Q j n  +  [ _____ ] j  Δt  +  ___ [ ______ ] j  Δt 2  +  o (Δt 3)                                   ∂t                     2       ∂t 2 (B.1)                                        ∂Q                       1      ∂2Q Q j+1n+1  =  Q j+1 n  +  [ _____ ] j+1  Δt  +  ___ [ ______ ] j+1  Δt 2  +  o (Δt 3)                                         ∂t                        2       ∂t 2 (B.2)                                  ∂Q                     1      ∂2Q Q j+1n  =  Q j n  +  [ _____ ] n  Δx  +  ___ [ ______ ] n  Δx 2  +  o (Δx 3)                                  ∂x                      2      ∂x 2 (B.3)                                        ∂Q                         1      ∂2Q Q j+1n+1  =  Q j n+1  +  [ _____ ] n+1  Δx  +  ___ [ ______ ] n+1  Δx 2  +  o (Δx 3)                                         ∂x                         2       ∂x 2 (B.4) Substituindo as Eqs. B.1 a B.4 na Eq. 10-94 (Capítulo 10) e desprezando os termos de terceira ordem, obtem-se que:            ∂Q                    1         ∂2Q X  { [ ____ ] j  Δt  +   ____   [ ______ ] j  Δt 2 }             ∂t                     2          ∂t 2                            ∂Q                        1         ∂2Q +  (1 - X )   { [ _____ ] j+1  Δt  +   ____   [ _____ ] j+1  Δt 2 }                           ∂t                         2          ∂t 2          C          ∂Q                       1          ∂2Q +  ____  { [ _____ ] n   Δx  +   ____   [ ______ ] n  Δx 2 }        2           ∂x                        2          ∂x 2          C          ∂Q                           1          ∂2Q +  ____  { [ _____ ] n+1   Δx  +   ____   [ ______ ] n+1  Δx 2 }  = 0        2           ∂x                            2          ∂x 2 (B.5) Em que: C = c (Δt /Δx) é o número de Courant. Expressando as derivadas no ponto da grade [( j + 1)Δx, (n + 1)Δt ] em termos de derivadas nos pontos da grade ( jΔx, nΔt ) pela série de Taylor, resulta em:     ∂Q                     ∂Q                  ∂2Q [ _____ ] j+1  =   [ _____ ] j    +  [ ______ ] j,n   Δx   +  o (Δx 2)      ∂t                       ∂t                  ∂x ∂t (B.6)     ∂Q                      ∂Q                     ∂2Q [ _____ ] n+1  =    [ _____ ] n    +  [ _______ ] j,n   Δt   +  o (Δt 2)      ∂x                       ∂x                    ∂x ∂t (B.7)     ∂2Q                      ∂2Q                   ∂3Q [ ______ ] j+1  =    [ ______ ] j    +  [ _______ ] j   Δx   +  o (Δx 2)      ∂t 2                      ∂t 2                  ∂t 2∂x (B.8)     ∂2Q                       ∂2Q                    ∂3Q [ ______ ] n+1  =    [ ______ ] n    +  [ _______ ] n   Δt   +  o (Δt 2)      ∂x 2                      ∂x 2                   ∂x 2∂t (B.9) Substituindo as Eqs. B.6 a B.9 na Eq. B.5 e desprezando os termos de terceira ordem, tem-se que:             ∂Q                      1         ∂2Q X  { [ _____ ] j   Δt  +   ____   [ ______ ] j  Δt 2 }              ∂t                       2          ∂t 2                            ∂Q                        ∂2Q                            1         ∂2Q +  (1 - X )   { [ _____ ] j   Δt  +   [ ______ ] j,n  Δx Δt  +  ____   [ ______ ] j  Δt 2 }                           ∂t                        ∂x ∂t                            2          ∂t 2          C          ∂Q                       1          ∂2Q +  ____  { [ _____ ] n   Δx  +   ____   [ ______ ] n  Δx 2 }        2           ∂x                        2          ∂x 2          C          ∂Q                         ∂2Q                            1         ∂2Q +  ____  { [ _____ ] n   Δx  +  [ ______ ] j,n  Δx Δt  +  ____   [ ______ ] n  Δx 2 }  = 0        2           ∂x                         ∂x ∂t                           2          ∂x 2 (B.10) Na Eq. B.10, dividindo-se por Δt e simplificando:     ∂Q                     ∂Q                Δt       ∂2Q             c Δx      ∂2Q [ _____ ] j  +   c [ _____ ] n    +  ____ [ ______ ] j  +  ______ [ ______ ] n      ∂t                      ∂x                  2        ∂t 2                2         ∂x 2                                  C           ∂2Q + Δx  { ( 1 - X ) +  ____ }  [ ______ ] j,n  = 0                                2           ∂x ∂t (B.11) Os primeiros dois termos daEq. B.11 constitui a equação de onda cinemática, Eq. 10-56. Os termos remanescentes são de erro R do esquema numérico de precisão de primeira ordem:          Δt       ∂2Q             c Δx      ∂2Q                                           C            ∂2Q R =  ____ [ ______ ] j  +  ______ [ ______ ] n  + Δx  { ( 1 - X )  +  _____ }  [ ______ ] j,n  = 0           2        ∂t 2                2         ∂x 2                                           2           ∂x ∂t (B.12) Da Eq. 10-56:  ∂Q                 ∂Q ____    =  - c   ____  ∂t                   ∂x (B.13) Dessa forma:   ∂2Q                   ∂2Q ______    =  - c   ______  ∂x ∂t                   ∂x 2 (B.14)  ∂2Q                   ∂2Q ______    = c 2   ______   ∂t 2                    ∂x 2 (B.15) Substituindo as Eqs. B.14 e B.15 na Eq. B.12 e simplificando:                            1        ∂2Q R = c Δx ( X  -  ___ )  _____                            2         ∂x 2 (B.16) Comparando-se a Eq. B.16 com o lado direito da equação da onda de difusão, repete-se aqui:   ∂Q             ∂Q              ∂2Q  ____  + c   _____  = νh  _______    ∂t              ∂x                ∂x 2 (B.17) Segue que o coeficiente de difusão numérico do m&eacut4e;todo de Muskingum-Cunge é:                     1 νh = c Δx ( ___  -  X )                     2 (B.18)

200611 17:50

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