1.  INTRODUCCIÓN

El canal inherentemente estable es aquél para el cual el número de Froude asintótico neutralmente estable alcanza el valor infinito (F_ns ⇒ ∞) (Ponce y Porras, 1993a). En teoría, dicho canal será neutralmente estable, es decir, con el número de Vedernikov V = 1, cuando el número de Froude alcance el infinito (F ⇒ ∞). Como este último es una imposibilidad física, este requisito garantiza efectivamente que el canal inherentemente estable siempre permanecerá muy por debajo del umbral V = 1, independientemente del caudal, eliminando así la posibilidad de formación de ondas de rollo. Como su nombre lo indica, un canal inherentemente estable es, por definición, incondicionalmente estable.

A juicio de los autores, el canal inherentemente estable nunca se ha construido. Sin embargo, la teoría nos dice que puede ser una forma efectiva de evitar ondas de rollo en canales abiertos con pendientes fuertes. En ciertos entornos geomorfológicos montañosos, las necesidades del drenaje urbano a menudo pueden exigir la construcción de canales de drenaje con pendiente fuerte. A medida que el flujo alcanza la cota de inundación, el riesgo es alto de que el flujo se vuelva inestable en algún momento.

2.  ANTECEDENTES TEÓRICOS

El criterio para la inestabilidad del flujo en canal abierto se debe a Vedernikov (1945, 1946). Powell (1948) le dio a este criterio el nombre de número de Vedernikov. Posteriormente, Craya (1952) aclaró el concepto, mejorando su base teórica. El criterio de Vedernikov establece que la superficie del agua de un canal abierto, con fuerte pendiente, puede volverse inestable, con la posibilidad de desarrollar ondas de rollo, cuando la celeridad relativa de la onda cinemática, es decir, la celeridad de Seddon (Seddon, 1900), iguala o supera la celeridad relativa de la onda dinámica, o celeridad de Lagrange (Lagrange, 1788). En su estudio exhaustivo de la propagación de ondas someras superficiales en flujo de canal abierto, Ponce y Simons (1977) confirmaron la validez del criterio de Vedernikov, que para el caso de la fricción de Chezy es equivalente al número de Froude F ≥ 2.

Las ondas de rollo son un tren de ondas que se producen en canales empinados con límites rígidos, revestidos con mampostería u hormigón.

En el régimen de flujo turbulento, bajo la fricción de Manning, el rango factible es: 1 ≤ β ≤ 5/3. Esto da lugar a tres formas asintóticas de sección transversal (Ponce y Porras, 1995b; Ponce, 2014):

1. Hidráulicamente ancho, con β = 5/3, para el cual el perímetro mojado P es una constante (Fig. 3), y F_ns = 1.5;

2. Triangular, con β = 4/3, para el cual el ancho de superficie T es proporcional a la profundidad de flujo d (Fig. 4), y F_ns = 3; y

3. Inherentemente estable, con β = 1, para el cual el radio hidráulico R en la subsección superior [la subsección de desbordamiento o avenida] es constante e igual al de la subsección inferior llena (Fig. 5), y F_ns = ∞.

Cabe mencionar que mientras bajo la fricción de Manning, el canal hidráulicamente ancho se vuelve inestable para F > 1.5, y el canal triangular para F > 3, el canal inherentemente estable se vuelve inestable a medida que F ⇒ ∞.

La existencia de un límite inferior para la fricción límite impone un límite superior práctico al número de Froude. Para estimar este límite superior, invocamos la fórmula adimensional de Chezy (Ponce, 2014d):

So  =  f F 2

(11)

en el que S_o = pendiente del canal, y f = factor de fricción adimensional, igual a 1/8 del factor de fricción Darcy-Weisbach f_D. Supongamos una pendiente muy pronunciada (por ejemplo, 45°, es decir, 100%), para lo cual S_o = 1; y el valor más bajo posible del factor de fricción, f = 0.001875, correspondiente a un Darcy-Weisbach f_D = 0.015. Esta suposición lleva a una estimación del valor máximo de número de Froude que se puede lograr en la práctica: F_max = 23 (Chow, 1959).

Se concluye que el canal inherentemente estable nunca alcanzará el número de Froude asintótico F_ns = ∞ que lo caracteriza. Por lo tanto, la construcción de un canal inherentemente estable, para el cual β = 1, proporciona un factor de seguridad irrealísticamente alto con respecto a la formación de ondas de rollo. Esto sugiere la posibilidad de diseñar una sección transversal estable en la práctica, donde el riesgo de ondas de rollo sea despreciable.

4.  DISEÑO DE CANAL ESTABLE

Liggett (1975) derivó la ecuación diferencial del canal inherentemente estable, para el cual δ = 1. Ponce y Porras (1995d) extendieron esta ecuación al canal condicionalmente estable, para el cual δ < 1. La Tabla 1 muestra los valores de β y δ correspondientes a los valores seleccionados de F_ns. El canal condicionalmente estable es estable, es decir, V ≤ 1, siempre que el número de Froude esté restringido a F ≤ F_ns, mientras que el radio hidráulico varía ligeramente con la profundidad de flujo.

Debido a la simetría de la sección transversal, un análisis de la mitad de la sección transversal es apropiado. En lo sucesivo, el asterisco (* ) se usa como subíndice para referirse a los valores mitad de las variables hidráulicas, por ejemplo, T_* = mitad del ancho medio superior.

El diferencial del perímetro mojado de la sección transversal estable es:

dP*  =  [ (dh) 2 + (dT* ) 2 ] 1/2

(23)

en el que dh = diferencial de la profundidad de flujo. Dividiendo por dh, y desde que dA_* = T_* dh  (Ponce, 2014):

dP*                       dT* T*  ______  =  [ 1  +  ( ______ ) 2 ] 1/2         dA*                       dh

(24)

Sustituyendo la Ec. 13 en la Ec. 24:

δ T*                        dT*  ______  =  [ 1  +  ( ______ ) 2 ] 1/2     R                          dh

(25)

El canal inherentemente estable es aquél para el cual δ = 1; por lo tanto, el radio hidráulico es constante e igual a R_o, es decir, Κ_o en la Ec. 18. Operando en la Ec. 25, se obtiene la ecuación diferencial del canal inherentemente estable:

dT*               T*  ______  =  [ ( _____ ) 2   -  1 ] 1/2     dh                Ro

(26)

sujeto a T_* > R_o .

La Ecuación 26 puede resolverse utilizando la siguiente integral indefinida (Spiegel et al., 2013):

dx                ∫  ______________  =  ln [ x + (x 2 - a 2) 1/2 ]      (x 2 - a 2) 1/2

(27)

en el cual x = T_* , y a = R_o .

El diseño de un canal estable requiere que el radio hidráulico se especifique desde el principio. Para lograr este propósito, la sección transversal debe estar compuesta por dos subsecciones:

1. Una subsección inferior, de forma rectangular, trapezoidal o triangular; y

2. Una subsección superior, de forma estable (ver, por ejemplo, Fig. 5).

La subsección inferior, de mitad del ancho del fondo B_* , profundidad h_o y pendiente de lado z: 1 (H: V), define el radio hidráulico R_o:

0.5 (2 B*  +   zho) ho  Ro  =  ________________________                B*  +  ho (1 + z 2)1/2

(28)

Además de definir R_o, la subsección inferior sirve para transmitir los flujos bajos. En la práctica, los flujos de alta velocidad pueden ocurrir a profundidades de flujo relativamente pequeñas. Este hecho debe tenerse en cuenta en el diseño de la subsección inferior.

La Ecuación 26 constituye una familia de secciones transversales de canales inherentemente estables, con el parámetro R_o. Una solución particular, donde T_*o  es el medio ancho superior correspondiente a la profundidad h_o , es:

T*                T*                                   ______  +  [ ( _____ ) 2   -  1 ] 1/2                                      Ro               Ro h  =  ho  + Ro  ln  { _________________________________ }                                     T*o               T*o                                   ______  +  [ ( _____ ) 2   -  1 ] 1/2                                      Ro               Ro

(29)

Para el caso especial de T_*o = R_o , Eq. 29 se reduce a la solución Liggett (1975) para el canal inherentemente estable:

T*                 T*                                       h  =  ho  + Ro  ln  { ______  +  [ ( ______ ) 2   -  1 ] 1/2 }                                   Ro                Ro

(30)

Como la fricción de fondo tiene un límite inferior y no puede reducirse de forma realista a cero, se deduce que hay un límite superior para el número de Froude que se puede lograr en la práctica. En otras palabras, el canal inherentemente estable se volverá inestable cuando el número de Froude F ⇒ ∞; sin embargo, este último no se puede alcanzar en ningún entorno práctico. Por lo tanto, parece que no es necesario diseñar una sección de canal estable con δ = 1.

Alternativamente, una sección de canal con un valor δ < 1 se puede diseñar para permanecer estable, siempre que no se exceda el número de Froude neutralmente estable asociado con este valor de δ . En la práctica, dado que el número máximo de Froude no es probable que exceda de F = 25, puede preverse una sección de canal condicionalmente estable, para la cual δ = 0.94. Los valores de δ correspondientes a los valores seleccionados de F_ns se muestran en la Tabla 1.

La extensión de la Ec. 26 al canal condicionalmente estable, para el cual δ < 1, es:

dT*              δT*  _____  =  [ ( ______ ) 2   -  1 ] 1/2     dh                R

(31)

sujeto a δT_* > R .

A diferencia de la Ec. 26, la Ec. 31 no se puede integrar analíticamente. La forma de la subsección superior T_* = f (δ, R_o, R ) puede obtenerse por integración numérica, dado un valor de δ, que corresponde a una elección de F_ns, y el radio hidráulico R_o corresponde a la profundidad  h_o de la subsección inferior.

La integración numérica procede seleccionando la forma de la subsección inferior (B_*, h_o, y z ) y la profundidad total del canal h_t, para comprender las subsecciones inferior y superior. En la subsección inferior, la profundidad de flujo varía en el rango 0 ≤ h ≤ h_o; en la subsección superior, varía en el rango h_o < h ≤ h_t .

La calculadora EN LÍNEA INHERENTEMENTE ESTABLE ponce.sdsu.edu/onlineinherentlystable.php resuelve el algoritmo recursivo de cálculo del canal inherentemente estable. Los datos de entrada a la calculadora se componen de:

• Datos geométricos e hidráulicos: mitad del ancho inferior B_*, profundidad h_o , pendiente lateral z, profundidad relativa h_u' , pendiente del canal S_o , y coeficiente n de Manning; y

• Número de Froude neutralmente estable F_ns.

Para resolver el canal inherentemente estable, especificar un valor muy alto de número de Froude neutralmente estable, digamos F_ns = 10,000. Para resolver el canal condicionalmente estable, especificar un valor realísticamente alto de número de Froude neutralmente estable, digamos F_ns = 25 (Sección 2).

Fig. 6  Secciones transversales de canal estable en función del número de Froude neutralmente estable F_ns y radio hidráulico R_o:
(a) h_o = 0.5 m, R_o = 0.417 m; (b) h_o = 0.75 m, R_o = 0.577 m; and (c) h_o = 1.0 m, R_o = 0.714 m
(redibujado de Ponce and Porras, 1995e).

6.  CONCLUSIONES

Los canales inherentemente estable y condicionalmente estable se revisan, elucidan y se calculan con la aplicación en línea. El número de Froude asintótico neutralmente estable para el canal inherentemente estable es F_ns ⇒ ∞. Teóricamente, dicho canal se volverá neutralmente estable cuando el número de Froude llegue al infinito. Dado que este último es una imposibilidad física, este requisito garantiza efectivamente que el canal inherentemente estable siempre permanecerá muy por debajo del umbral de inestabilidad, independientemente del caudal, eliminando así por completo la posibilidad de formación de ondas de rollo.

El canal inherentemente estable nunca alcanzará el valor de Froude número F_ns = ∞ que lo caracteriza. Por lo tanto, la construcción de un canal inherentemente estable, es decir, aquél para el cual los exponentes β = 1 y δ = 1, proporciona un factor de seguridad irrealísticamente alto con respecto a la formación de ondas de rollo. Esto sugiere la posibilidad de diseñar alternativamente una forma de sección transversal condicionalmente estable, para un número de Froude convenientemente alto pero realista, tal como F_ns = 25, que corresponde a β = 1.04 y δ = 0.94, para lo cual el riesgo de ondas de rollo sería despreciable.

Los resultados de este estudio conducen a las siguientes conclusiones:

• Para h > h_o, cuanto menor sea la elección de F_ns, menor será el ancho superior estable resultante.

• Para h > h_o, cuanto más grande sea la elección de R_o, menor será el ancho superior estable resultante.

• Dado F_ns, cuanto más grande sea la elección de R_o, más estrecha (angosta) será la sección del canal estable resultante.

• Dado R_o, cuanto menor sea la elección de F_ns, más estrecha será la sección del canal estable resultante.

Un ejemplo de diseño muestra que el canal condicionalmente estable con F_ns = 25 es aproximadamente un 27% más estrecho que el canal inherentemente estable.