CASCADA Y CONVOLUCIÓN:  UNO Y LO MISMO Víctor M. Ponce Profesor Emérito de Ingeniería Civil y Ambiental Universidad Estatal de San Diego San Diego, California 31 de marzo de 2023 RESUMEN:   Se muestra que los métodos de la cascada de embalses lineales y la convolución del hidrograma unitario son uno y lo mismo cuando los parámetros de la cascada se utilizan para calcular el hidrograma unitario mediante convolución. En ausencia de datos de aforo, los parámetros de la cascada se pueden estimar en base a las características geomorfológicas. Una vez que se establecen los parámetros, el hidrograma de avenidas queda singularmente determinado. 1.  INTRODUCCIÓN La convolución de un hidrograma unitario es un método claramente establecido para calcular un hidrograma de avenidas (Sherman 1932; Ponce 1989). Asimismo, la cascada de embalses lineales constituye la base de varios modelos hidrológicos, entre ellos, en particular, el modelo SSARR (U.S. Army Corps of Engineers, 1954; Ponce, 1989). Menos conocido es el hecho de que estos dos métodos, aparentemente diferentes, dan como resultado el mismo hidrograma de avenidas, siempre que se utilice el hidrograma unitario adimensional de la cascada para desarrollar el hidrograma unitario de la convolución. Estas proposiciones se fundamentan en este artículo. 2.  HIETOGRAMA DE TORMENTA EFECTIVA Un hietograma de tormenta efectiva se deriva de un hietograma de tormenta total mediante el uso de un método de abstracción hidrológica tal como el número de la curva de escorrentía NRCS (Ponce, 1989). Para este ejemplo, asumimos el hietograma de tormenta efectiva, con una duración de 6 horas, mostrada en la Tabla 1. Tabla 1.   Hietograma de tormenta efectiva. Tiempo (horas) Precipitación efectiva (centímetros) 1 1 2 2 3 4 4 3 5 2 6 1 3.  HIDROGRAMAS UNITARIOS Asumir una cuenca relativamente grande, con un área de drenaje A = 432 km2. La duración del hidrograma unitario aplicable tr, es la misma que la del intervalo de tiempo del hietograma de tormenta (Tabla 1), es decir, tr = Δt = 1 hr. Se supone que la cuenca posée un relieve relativamente empinado, con parámetros de cascada apropiados, tales como número de Courant C = 1, y número de embalses lineales N = 2. Para C = 1 y N = 2, el programa online_general_uh_cascade proporciona el hidrograma unitario adimensional general (HUAG) mostrado en la Tabla 2. Tabla 2.  Hidrograma unitario adimensional general para C = 1 y N = 2. Tiempo adimensional t* Caudal adimensional Q* 0 0.0000 1 0.2222 2 0.3704 3 0.2222 4 0.1070 5 0.0466 6 0.0192 7 0.0076 8 0.0029 9 0.0011 10 0.0004 11 0.0002 12 0.0001 13 0.0000 La constante K del almacenamiento del embalse es: K = Δt / C = tr / C = 1 (1) El tiempo total, en horas, es: t = t* tr (2) El caudal, en metros3/segundo, es: Q = 2.777778 Q* A / tr (3) El programa online_dimensionless_uh_cascade se usa para obtener el hidrograma unitario mostrado en la Tabla 3. Tabla 3.   Hidrograma unitario para la cuenca de A = 432 km2 y tr = 1 h. Tiempo (horas) Caudal Q (metros3/segundo) 0 0.0000 1 266.667 2 444.444 3 266.667 4 128.935 5 55.967 6 23.045 7 9.145 8 3.536 9 1.341 10 0.501 11 0.185 12 0.068 13 0.025 14 0.009 15 0.003 16 0.001 17 0.000 4.  CASCADA DE EMBALSES LINEALES Con C = 1 (es decir, K = 1), N = 2, y el hietograma de tormenta efectiva dado (Tabla 1), se usa el programa online_routing_08 para calcular el hidrograma de inundación por el método de cascada de embalses lineales (Ponce 1989). La Tabla 4 muestra el hidrograma de avenida resultante de este cálculo. Tabla 4.  Hidrograma de avenida calculado por el método de cascada de embalses lineales. Tiempo t (horas) Caudal Q (metros3/segundo) 0 0.0000 1 266.667 2 977.778 3 2222.222 4 3239.506 5 3246.091 6 2604.115 7 1642.067 8 805.365 9 354.458 10 146.820 11 58.496 12 22.684 13 8.623 14 3.228 15 1.194 16 0.437 17 0.159 18 0.057 19 0.021 20 0.007 21 0.003 22 0.001 23 0.000 5.  CONVOLUCIÓN La convolución del hidrograma unitario (Tabla 3) con el hietograma de tormenta efectiva (Tabla 1) se logra utilizando el programa online_convolution. Para este ejemplo, úsese CN = 100. La Tabla 5 muestra el hidrograma de avenida calculado. Se confirma que los resultados de las Tablas 4 y 5 son esencialmente los mismos. Tabla 5.   Hidrograma de avenida calculado por convolución. Tiempo t (horas) Caudal Q (metros3/segundo) 0 0.0000 1 266.667 2 977.778 3 2222.223 4 3239.506 5 3246.091 6 2604.115 7 1642.066 8 805.364 9 354.457 10 146.819 11 58.494 12 22.682 13 8.622 14 3.229 15 1.196 16 0.439 17 0.159 18 0.056 19 0.018 20 0.005 21 0.001 22 0.000 23 0.000 6.  ANÁLISIS El método de cascada de embalses lineales calcula un hidrograma de avenida correspondiente al hietograma de tormenta efectiva dado. La convolución del hidrograma unitario con el hietograma de tormenta efectiva resulta en el mismo hidrograma de avenida, siempre que se utilicen los parámetros de la cascada para derivar el hidrograma unitario en la convolución. Así, una vez que se establecen los parámetros aplicables de la cascada, los métodos de cascada de embalses lineales y convolución dan exactamente el mismo resultado (comparar las Tablas 4 y 5). 7.   USO DE LA GEOMORFOLOGíA PARA LA ESTIMACIÓN DE LOS PÁRAMETROS DE LA CASCADA Los parámetros de la cascada se pueden estimar en función de las propiedades de difusión del escurrimiento de la cuenca. Estas últimas dependen de la topografía y geomorfología del terreno. Las cuencas con alta pendiente tienen poca o ninguna difusión; por el contrario, las cuencas con baja pendiente tienen cantidades considerables de difusión. El caso de difusión nula (es decir, difusión cero) se modela con C = 2 y N = 1. Por el contrario, el caso de difusión considerable (es decir, difusión grande) se puede modelar con C = 0,1 y N = 10 (Ponce 1980). En la Naturaleza, las cuencas se clasifican, en función de la difusión del escurrimiento, sobre la base de la pendiente media del terreno (Ponce, 1989). En la Tabla 6 se propone una clasificación de tipo preliminar. El rango de los parámetros de cascada C y N, los valores pico Q*p del hidrograma unitario adimensional general (HUAG), y el tiempo t*p hasta el pico se obtuvieron con el programa online_all_series_uh_cascade. A falta de datos medidos, la Tabla 6 puede usarse como referencia para la evaluación preliminar de los valores de C y N en una aplicación determinada. Tabla 6.  Clasificación de cuencas para la evaluación de la difusión del escurrimiento en base a la pendiente media del terreno. Clase (tipo de pendiente) Pendiente media del terreno Parámetros de la cascada Valores pico de HUAG y y tiempo hasta el pico C N Q*p t*p Muy empinado > 0.1 2 1 1 1 Empinado 0.01 - 0.1 1.5 2 0.472 2 Medio 0.001 - 0.01 1 4 0.224 4 Suave (leve) 0.0001 - 0.001 0.5 6 0.088 11 Muy suave (muy leve) 0.00001 - 0.0001 0.2 8 0.03 36 Extremadamente suave (extremadamente leve) < 0.00001 0.1 9 0.014 81 8.  CONCLUSIONES Se demuestra que los métodos de cascada de embalses lineales y convolución del hidrograma unitario son uno y lo mismo, y que dan exactamente el mismo resultado, siempre que los parámetros de la cascada se utilicen para calcular el hidrograma unitario de la convolución. En ausencia de datos medidos, los parámetros de la cascada se pueden estimar en base a las características geomorfológicas. Una vez que se establecen estos parámetros, el hidrograma de avenida se determina de forma única por cualquiera de los dos métodos. BIBLIOGRAFÍA Ponce, V. M., 1980. Linear reservoirs and numerical diffusion. Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Vol. 106, HY5, May, 691-699. Ponce, V. M., 1989. Engineering Hydrology: Principles and Practices. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey. Sherman, L. K., 1932. Streamflow from rainfall by unit-graph method. Engineering News-Record, Vol. 108, April 7, 501-505. U.S. Army Corps of Engineers, North Pacific Division, 1975. Program description and user's manual for SSARR Model: Streamflow Synthesis and Reservoir Regulation. Portland, Oregon, September 1972, revised June 1975. NOTACIÓN En esta publicación se utilizan los siguientes símbolos: A = área de drenaje de la cuenca (km2); C = Número de Courant, adimensional; CN = Número de curva de escurrimiento (NRCS) K = constante de almacenamiento del embalse (hr), Ec. 1; N = número de embalses lineales; Q = caudal del hidrograma unitario (m3/s), Ec. 3; Q*p = caudal adimensional pico (máximo valor), Tabla 6; Q* = caudal adimensional; t = tiempo (hr), Ec. 2; t*p = tiempo adimensional asociado con la descarga pico (máxima), Tabla 6; tr = duración del hidrograma unitario (hr); t* = tiempo adimensional; y Δt = intervalo de tiempo del hietograma (hr). PROGRAMAS EN LÍNEA En esta publicación se utilizan los siguientes programas: online_general_uh_cascade online_dimensionless_uh_cascade online_all_series_uh_cascade online_routing08 online_convolution

230402