Fig. 1  Ondas en un canal de riego empinado, Cabana-Mañazo, Puno, Perú.

En condiciones normales de flujo en canales, el número de Froude F_o > 0; por lo tanto, el número de Vedernikov V_o > 0. Así, la difusividad hidráulica dinámica ν_d (Ec. 4) siempre es menor que la difusividad hidráulica cinemática ν_k (Ec. 1). En la práctica, el uso de ν_k en lugar de ν_d siempre exagerará la cantidad de difusión. En el límite, para V_o = 1, la difusión es nula, y las ondas cinemáticas y dinámicas viajan a la misma velocidad y no están sujetas a disipación, lo que conduce al desarrollo de ondas de rollo como las que se muestran en la Fig. 1 (Ponce y Simons, 1977).

3.  DIFUSIVIDAD HIDRÁULICA DINÁMICA

Al derivar los parámetros hidrodinámicos de Muskingum, incluida la inercia, Dooge et al. (1982) expresaron X en términos de variables hidráulicas de la siguiente manera (op. cit., Eq. 37b):

1         M         R    X =   ___  +  ____  -  ____            2         N         P

(6)

en la cual:

g yo    M =   ______ (1 - Fo2)               L

(7)

∂Sf    N = g Ao  _____                   ∂A

(8)

∂Sf    P = g Ao  _____                   ∂Q

(9)

2 Qo          1    (∂Sf / ∂A)    R =   ______  +   ___  ___________            Ao L          L    (∂Sf / ∂Q)

(10)

en la cual y_o = profundidad de flujo, A_o = área de flujo, Q_o = caudal, S_f = pendiente de fricción, g = aceleración gravitacional, y L = longitud de tramo Δx.

La relación M /N es la siguiente:

M                  1            yo    ______  =   __________ ______  (1 - Fo2)    N              ∂Sf /∂A      A L

(11)

La relación R /P es la siguiente:

R                   1             2 Qo               ∂Sf /∂A              1 ______  =   __________ ___________  +  ____________   _________    P              ∂Sf /∂Q      g Ao2 L           (∂Sf /∂Q)2        g Ao L

(12)

Dooge et al. (1982) definió la variable m como sigue:

∂Sf / ∂A       Ao    m = -  ___________  _____              ∂Sf / ∂Q      Qo

(13)

La variable m es igual al exponente β de la curva de gasto Q = αA^β (Ponce, 1989: Eq. 9-13).

Por lo tanto:

∂Sf / ∂A       Ao    ∂Sf / ∂Q = -  ___________  _____                            m            Qo

(14)

Con la Ecuación 14, la relación R /P se reduce a lo siguiente:

R                    m             2 Qo2                m2              Qo2 ______  =   - __________ ___________  +  ___________   _________    P                ∂Sf /∂A       g Ao3 L             ∂Sf /∂A        g Ao3 L

(15)

R                     1              Qo2                ______  =   - __________ ___________  (2 m - m 2)    P                ∂Sf /∂A       g Ao3 L

(16)

De la definición del número de Froude, con T_o = ancho superior:

Qo2 To    Fo2  =   _________                g Ao3

(17)

R                   1            Fo2                ______  =   - __________ ________  (2 m - m 2)    P                ∂Sf /∂A      To L

(18)

R                   1           yo Fo2                ______  =   - __________ __________  (2 m - m 2)    P                ∂Sf /∂A        Ao L

(19)

Reemplazando las Ecs. 11 y 19 en la Ec. 6:

1                 1            yo     X =   _____  +   __________    ______  [1 - (m - 1)2 Fo 2]            2             ∂Sf / ∂A     Ao L

(20)

De la Ecuación 14:

Qo    ∂Sf / ∂A = -  m (∂Sf / ∂Q) _______                                         Ao

(21)

Desde que:

Qo2     Sf  =   _______               K2

(22)

en la cual K = conducción (conveyance, en Inglés), entonces:

2 Sf     ∂Sf / ∂Q  =   _______                      Qo

(23)

Reemplazando la Ec. 23 en la Ec. 21:

Sf    ∂Sf / ∂A = -  2 m  _______                              Ao

(24)

Reemplazando la Ec. 24 en la Ec. 20:

1                1            yo     X =   _____  -   __________    _____  [1 - (m - 1)2 Fo 2]            2            2 m Sf         L

(25)

Reduciendo:

1                    yo     X =   _____  { 1  -  __________   [1 - (m - 1)2 Fo 2] }            2                 m Sf L

(26)

Reemplazando L con Δ<>x, m con β, y S_f  con S_o :

1                     qo     X =   _____  { 1  -  ____________   [1 - (β - 1)2 Fo 2] }            2                So co Δx

(27)

en la cual c_o es la celeridad de la onda de inundación, c_o = m u_o = β u_o.

Reemplazando la Ec. 5 en la Ec. 27:

1                     qo     X =   _____  [ 1  -  ____________   (1 -  Vo 2) ]            2                So co Δx

(28)

La difusividad hidráulica cinemática ν_k está dada por la Ecuación 1. La difusividad de la malla computacional es ν_g = c_o (Δx /2) (Ponce, 1989). Así, de la Ec. 28, se deduce que la difusividad hidráulica dinámica es:

qo    νd  =   _______  (1 - Vo 2)             2 So

(29)

La Ecuación 29 es la misma que la Ec. 4. Se confirma que la expresión entre paréntesis en la difusividad hidráulica dinámica es una función no del número de Froude, como lo presenta Dooge (1973), sino del número de Vedernikov, como lo presenta Ponce (1991b).

El enlace DIFUSIVIDAD HIDRÁULICA DINÁMICA EN LÍNEA calcula las difusividades hidráulicas cinemáticas y dinámicas, dado las variables hidráulicas respectivas, que consiste de lo siguiente: velocidad media u, profundidad del flujo y, pendiente del fondo S_o, y exponente β de la curva de gasto.

4.  RESUMEN

Se demuestra que la Ecuación 3 de Dooge et al. (1982) para la difusividad hidráulica dinámica es una función del número de Froude F_o y del exponente β de la curva de gasto Q = α A^β. La formulación de Ponce para la difusividad hidráulica dinámica, Ec. 4, es efectivamente una función del número de Vedernikov V_o. Dada la relación entre los números de Froude y Vedernikov, Ec. 5, se concluye que las formulaciones de Dooge et al. (1982) y Ponce (1991) son equivalentes.

Para aumentar la precisión del modelado, se recomienda la formulación de difusividad hidráulica dependiente del número de Vedernikov, en las siguientes aplicaciones: (1) enrutamiento en canales utilizando el método Muskingum-Cunge (Ponce y Yevjevich, 1978); y (2) enrutamiento de flujo superficial utilizando el modelo de onda difusiva (Ponce, 1986). Se proporciona una calculadora en línea para redondear la experiencia.

BIBLIOGRAFÍA

Dooge, J. C. I. (1973). Linear theory of hydrologic systems, Technical Bulletin No. 1468, Agricultural Research Service, U.S. Department of Agriculture, Washington, D.C.

Dooge, J. C. I., W. B. Strupczewski, y J. J. Napiorkowski. (1982). Hydrodynamic derivation of storage parameters of the Muskingum model, Journal of Hydrology, Vol. 54, 371-387.

Hayami, S. (1951). On the propagation of flood waves. Bulletin No. 1, Disaster Prevention Research Institute, Kyoto University, Kyoto, Japan, December.

Ponce, V. M., y D. B. Simons. (1977). Shallow wave propagation in open channel flow. Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Vol. 103, No. HY12, pages 1461-1476, December.

Ponce, V. M., y V. Yevjevich. (1978). Muskingum-Cunge method with variable parameters. Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Vol. 104, No. HY12, pages 1663-1667, December.

Ponce, V. M. (1986). Diffusion wave modeling of catchment dynamics. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 112, No. 8, pages 716-727, August.

Ponce, V. M. (1989). Engineering hydrology: Principles y practices, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

Ponce, V. M. (1991a). The kinematic wave controversy. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 117, No. 4, pages 511-525, April.

Ponce, V. M. (1991b). New perspective on the Vedernikov number. Water Resources Research, Vol. 27, No. 7, pages 1777-1779, July.