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Distribución espacial del flujo permanente
alrededor del desplazamiento por gravedad
de una partícula esférica dentro de
un matraz lleno de agua
Víctor M. Ponce y Jhonath W. Mejía
210309
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RESUMEN
El siguiente trabajo tiene por objeto responder la pregunta hecha por el profesor Daryl B. Simons en la Universidad Estatal de Colorado, Fort Collins, a mediados de la década de los años 1970. El problema consiste en determinar la distribución espacial del flujo permanente alrededor del desplazamiento por gravedad de una partícula esférica dentro de
un matraz lleno de agua. Para obtener la respuesta a esta pregunta, dados los diámetros de la partícula y el matraz, se parte de la ley fundamental de la conservación de la masa, usando integrales de volúmen y el teorema del valor medio.
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1. INTRODUCCIÓN
El siguiente trabajo tiene por objeto responder la pregunta hecha por el profesor Daryl B. Simons en la Universidad Estatal de Colorado, Fort Collins, a mediados de la década de los años 1970. El problema consiste en determinar la distribución espacial del flujo permanente alrededor del desplazamiento por gravedad de una partícula esférica dentro de
un matraz lleno de agua. Dados los diámetros de la partícula y el matraz, se parte de la ley fundamental de la conservación de la masa, usando integrales de volúmen y el teorema del valor medio.
2. VELOCIDAD DE CAÍDA
La velocidad de caída de una partícula de sedimento es su tasa terminal de sedimentación en agua estática. La velocidad de caída es función del tamaño, la forma y el peso específico de la partícula, y del peso específico y la viscosidad del agua. Para partículas pequeñas, su forma se puede aproximar al de una esfera; entonces, la velocidad de caída se expresa de la siguiente manera (Ponce, 1989):
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\[w=\sqrt{\frac{4}{3}\frac{g d}{C_{D}}\frac{\gamma_{s}-\gamma}{\gamma}}\]
| (1) |
en la cual w = velocidad de caída; g = aceleración de la gravedad; d = diámetro de la partícula; γ = peso específico del agua; γs = peso específico de las partículas de sedimentos, y CD = es el coeficiente de resistencia (al rozamiento). Esta ecuación se puede resolver en forma iterativa con el procedimiento utilizado por enlineavelocidadcaida.
3. DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES
La distribución de velocidades en el espacio entre la partícula y la pared interior del matraz tiene las siguientes características (Fig. 1):
El origen de coordenadas es el centro de la partícula.
El flujo próximo a la partícula está dado por Q1, mientras que el flujo próximo a la pared interior del matraz está dado por Q2; estos flujos son iguales debido a la ley de la conservación de la masa.
El valor V1 es la velocidad de caída de la partícula.
El valor V2 es la velocidad máxima del flujo ascendente.
La condición de frontera en la pared interior del matraz es la condición de no deslizamiento, es decir Vo = 0.
El valor c es el punto de intersección entre la distribución de velocidades con el eje de las abscisas, y es donde se establece el equilibrio de los dos flujos Q1 y Q2.
Fig. 1 Distribución de velocidades en el espacio entre la partícula y la pared interior del matraz.
De la Figura 1 se pueden establecer las siguientes relaciones. La ecuación canónica de una parábola con vértice en (k,V2) se define como sigue:
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\[(y-V_{2})=4P(x-k)^{2}\]
| (2) |
De la Ecuación 2, resolviendo para x, se obtiene:
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\[x_{1}=k+\sqrt{\frac{y-V_{2}}{4P}}\]
| (3) |
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\[x_{2}=k-\sqrt{\frac{y-V_{2}}{4P}}\]
| (4) |
Evaluando la Ec. 2 en p1:(0.5d, -V1) y resolviendo para 4P :
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\[4P=\frac{-(V_{1}+V_{2})}{(0.5d-k)^{2}}\]
| (5) |
Evaluando la Ec. 2 en p2:(c, 0) y resolviendo para c :
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\[c=k-\sqrt{\frac{-V_{2}}{4P}}\]
| (6) |
Evaluando la Ec. 2 en p3:(0.5D, 0) y resolviendo para 4P :
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\[4P=\frac{-V_{2}}{(0.5D-k)^{2}}\]
| (7) |
Igualando las Ecs. 5 y 7:
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\[\frac{-(V_{1}+V_{2})}{(0.5d-k)^{2}}=\frac{-V_{2}}{(0.5D-k)^{2}}\]
| (8) |
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\[\frac{V_{1}+V_{2}}{V_{2}}=\frac{(0.5d-k)^{2}}{(0.5D-k)^{2}}\]
| (9) |
De la Ec. 9, resolviendo para V1:
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\[V_{1}=V_{2}\left[\frac{(0.5d-k)^{2}}{(0.5D-k)^{2}}-1\right ]\]
| (10) |
Para RV = (V1 + V2) /V2 y RD = (0.5d - k)2/(0.5D - k)2, las Ecs. 9 y 10 quedan redefinidas como sigue:
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\[V_{1}=V_{2}(R_{D}-1)\]
| (12) |
Sustituyendo la Ec. 7 en las Ecs. 3 y 4, y simplificando:
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\[x_{1}=k+\left(0.5D-k\right )\sqrt{1-\frac{y}{V_{2}}}\]
| (13) |
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\[x_{2}=k-\left(0.5D-k\right )\sqrt{1-\frac{y}{V_{2}}}\]
| (14) |
4. CONSERVACIÓN DE LA MASA
Al aplicar el principio de conservación de la masa en la Fig. 1, se establece lo siguiente:
Reescribiendo la Ec. 15 en términos de área y velocidad media:
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\[V_{m1}A_{1}=V_{m2}A_{2}\]
| (16) |
en la cual A1 = π [c2 - (d/2)2] /4, área de flujo del anillo interior; y A2 = π [(D/2)2 - c2] /4, área de flujo del anillo exterior. A partir de la Fig. 1 y el teorema del valor medio para integrales de volumen, definimos la velocidad media Vm1 como sigue:
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\[V_{m1}=\frac{\forall_{V1}}{A_{1}}\]
| (17) |
en la cual ∀V1 = Volumen 1. La velocidad media Vm2 queda definida como sigue:
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\[V_{m2}=\frac{\forall_{V2}}{A_{2}}\]
| (18) |
en la cual ∀V2 = Volumen 2. Reemplazando las Ecs. 17 y 18 en la Ec. 16:
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\[\frac{\forall_{V1}}{A_{1}}A_{1}=\frac{\forall_{V2}}{A_{2}}A_{2}\]
| (19) |
y simplificando se obtiene:
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\[\forall_{V1}=\forall_{V2}\]
| (20) |
La Ecuación 20 representa la condición de equilibrio que existe entre los caudales Q1 y Q2 según la definición de la Ec. 15 en términos de volúmenes.
Resolviendo ∀V1 usando la integral del volúmen de un sólido de revolución generado por la curva x2, dada la Ec. 14:
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\[\forall_{V1}=\pi\int_{-V1}^{0}\left \{\left[k-\left(0.5D-k\right)\sqrt{1-\frac{y}{V_{2}}} \right]^{2}-\left[0.5D\right]^{2}\right\}dy\]
| (21) |
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\[\forall_{V1}=\pi\left[k^{2}y-\frac{(0.5D-k)^{2}V_{2}}{2}\left(\frac{y}{V_{2}}-1\right)^{2}+\frac{4k(0.5D-k)V_{2}}{3}\left(\frac{y}{V_{2}}-1\right)^{\frac{3}{2}}-\left(0.5D\right)^{2}y\right]_{-V_{1}}^{0}\]
| (22) |
Tomando θ1 = (0.5D - k) y θ2 = (0.5D), y reemplazando en la Ec. 22:
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\[\forall_{V1}=\pi\left[k^{2}y-\frac{\theta_{1}^{\,2}V_{2}}{2}\left(\frac{y}{V_{2}}-1\right)^{2}+\frac{4k\theta_{1}V_{2}}{3}\left(\frac{y}{V_{2}}-1\right)^{\frac{3}{2}}-\theta_{2}^{\,2}\,y\right]_{-V_{1}}^{0}\]
| (23) |
Reemplazando los límites (0, -V1) para y en la Ec. 23, y simplificando se obtiene:
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\[\forall_{V1}=\pi\left[\frac{-\theta_{1}^{\,2}V_{2}}{2}+\frac{4k\theta_{1}V_{2}}{3}+V_{1}k^{2}+\frac{\theta_{1}^{\,2}V_{2}}{2}\left(\frac{V_{1}+V_{2}}{V_{2}}\right)^{2}-\frac{4k\theta_{1}V_{2}}{3}\left(\frac{V_{1}+V_{2}}{V_{2}}\right)^{\frac{3}{2}}+\theta_{2}^{\,2}V_{1}\right]\]
| (24) |
Tomando RV = (V1 + V2) /V2 y reemplazando en la Ec. 24:
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\[\forall_{V1}=\pi\left[\frac{-\theta_{1}^{2}V_{2}}{2}+\frac{4k\theta_{1}V_{2}}{3}+V_{1}k^{\,2}+\frac{\theta_{1}^{\,2}V_{2}}{2}R_{V}^{\,2}-\frac{4k\theta_{1}V_{2}}{3}R_{V}^{3/2}+\theta_{2}^{\,2}V_{1}\right]\]
| (25) |
Simplificando:
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\[\forall_{V1}=\pi\left[\frac{-\theta_{1}^{\,2}V_{2}}{2}\left(1-R_{V}^{\,2}\,\right)+\frac{4k\theta_{1}V_{2}}{3}\left(1-R_{V}^{\,3/2}\right)+V_{1}\left(k^{2}+\theta_{2}^{\,2}\right)\right]\]
| (26) |
Reemplazando las Ecs. 11 y 12 en la Ec. 26:
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\[\forall_{V1}=\pi\left[\frac{-\theta_{1}^{\,2}V_{2}}{2}\left(1-R_{D}^{\,2}\,\right)+\frac{4k\theta_{1}V_{2}}{3}\left(1-R_{D}^{\,3/2}\right)+V_{2}(R_{D}-1)\left(k^{2}+\theta_{2}^{\,2}\right)\right]\]
| (27) |
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\[\forall_{V1}=\pi\,V_{2}\left[\frac{-\theta_{1}^{\,2}}{2}\left(1-R_{D}^{\,2}\,\right)+\frac{4k\theta_{1}}{3}\left(1-R_{D}^{\,3/2}\right)-(1-R_{D})\left(k^{2}+\theta_{2}^{\,2}\right)\right]\]
| (28) |
Fig. 2 Volúmen del sólido de revolución generado por x2.
Resolviendo ∀V2 usando la integral del volúmen de un sólido de revolución generado por las curvas x1 y x2, dadas las Ecs. 13 y 14, respectivamente:
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\[\forall_{V2}=\pi\int\left\{\left[\,x_{1}(y)\,\right]^{2}-\left[\,x_{2}(y)\,\right]^{2}\right\}dy\]
| (29) |
Resolviendo la integral para x1(y):
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\[\int\left[\,x_{1}(y)\,\right]^{2}dy=\int_{0}^{V_{2}}\left[\,k+\left(0.5D-k\right)\sqrt{1-\frac{y}{V_{2}}}\,\right]dy\]
| (30) |
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\[\int\left[\,x_{1}(y)\,\right]^{2}dy=\left[k^{2}y-\frac{(0.5D-k)^{2}V_{2}}{2}\left(\frac{y}{V_{2}}-1\right)^{2}-\frac{4k(0.5D-k)V_{2}}{3}\left(\frac{y}{V_{2}}-1\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{V_{2}}\]
| (31) |
Reemplazando los límites (V2, 0) para y en la Ec. 31 y simplificando, se obtiene:
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\[\int\left[\,x_{1}(y)\,\right]^{2}dy=V_{2}\left[k^{2}+\frac{(0.5D-k)^{2}}{2}+\frac{4k(0.5D-k)}{3}\right]\]
| (32) |
Resolviendo la integral para x2(y):
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\[\int\left[\,x_{2}(y)\,\right]^{2}dy=\int_{0}^{V_{2}}\left[k-\left(0.5D-k\right)\sqrt{1-\frac{y}{V_{2}}}\right]dy\]
| (33) |
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\[\int\left[\,x_{2}(y)\,\right]^{2}dy=\left[k^{2}y-\frac{(0.5D-k)^{2}V_{2}}{2}\left(\frac{y}{V_{2}}-1\right)^{2}+\frac{4k(0.5D-k)V_{2}}{3}\left(\frac{y}{V_{2}}-1\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{V_{2}}\]
| (34) |
Reemplazando los límites (V2, 0) para y en la Ec. 34 y simplificando, se obtiene:
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\[\int\left[\,x_{2}(y)\,\right]^{2}dy=-V_{2}\left[k^{2}+\frac{(0.5D-k)^{2}}{2}-\frac{4k(0.5D-k)}{3}\right]\]
| (35) |
Reemplazando las Ecs. 32 y 35 en la Ec. 29:
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\[\forall_{V2}=\pi\,V_{2}\left[k^{2}+\frac{(0.5D-k)^{2}}{2}+\frac{4k(0.5D-k)}{3}\right]-\pi\,V_{2}\left[k^{2}+\frac{(0.5D-k)^{2}}{2}-\frac{4k(0.5D-k)}{3}\right]\]
| (36) |
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\[\forall_{V2}=\pi\,V_{2}\left[\frac{8k(0.5D-k)}{2}\right]\]
| (37) |
Tomando θ1 = (0.5D - k), y reemplazando en la Ec. 37:
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\[\forall_{V2}=\pi\,V_{2}\left(\frac{8k\theta_{1}}{2}\right)\]
| (38) |
Fig. 3 Volúmen del sólido de revolución generado por x1 y x2.
Reemplazando las Ecs. 28 y 38 en la Ec. 20:
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\[\pi\,V_{2}\left[\frac{-\theta_{1}^{\,2}}{2}\left(1-R_{D}^{\,2}\,\right)+\frac{4k\theta_{1}}{3}\left(1-R_{D}^{\,3/2}\right)-(1-R_{D})\left(k^{2}+\theta_{2}^{\,2}\right)\right]=\pi\,V_{2}\left(\frac{8k\theta_{1}}{2}\right)\]
| (39) |
Simplificando la Ec. 39:
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\[\left[\frac{-\theta_{1}^{\,2}}{2}\left(1-R_{D}^{\,2}\right)+\frac{4k\theta_{1}}{3}\left(1-R_{D}^{\,3/2}\right)-\left(1-R_{D}\right)\left(k^{2}+\theta_{2}^{\,2}\right)\right]=4k\theta_{1}\]
| (40) |
Reescribiendo la Ec. 40 en términos de d, D, y k:
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\[\frac{-(0.5D-k)^{2}}{2}\left[1-\left(\frac{0.5d-k}{0.5D-k}\right)^{4}\right]+\frac{4k(0.5D-k)}{3}\left[1-\left(\frac{0.5d-k}{0.5D-k}\right)^{3}\right]-\left[1-\left(\frac{0.5d-k}{0.5D-k}\right)^{2}\right]\left[k^{2}+\left(0.5D\right)^{2}\right]=4k(0.5D-k)\]
| (41) |
La Ecuación 41 tiene como parámetros de entrada: d = diámetro de la partícula, D = diámetro interno del matraz, y como parámetro de salida k = vértice de la parábola en el perfil de velocidades (Fig. 1). Como esta ecuación es implícita para k, se utiliza un método iterativo para resolverlo. Una vez que se obtiene k se utliza la Ec. 10 para calcular V2:
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\[V_{2}=V_{1}\left[\left(\frac{0.5d-k}{0.5D-k}\right)^{2}-1\right]^{-1}\]
| (42) |
5. EJEMPLO
Calcular la distribución de velocidades de flujo alrededor de una partícula esférica de una partícula esférica de diámetro d = 1.0 mm, el cual cae en agua en un matraz de diámetro interno D = 6.5 cm. Considerar: T = 20 °C; γs = 2.65 gr/cm3; γ = 1.0 gr/cm3, y g = 9.81 m/s2.
1. Calcular la velocidad de caída de la partícula esférica, usando el programa enlineavelocidadcaida:
\[V_{1}=0.155\,m/s\]
2. Calcular k usando la Ec. 41:
\[k=0.02438\,m\]
3. Calcular V2 usando la Ec. 42:
\[V_{2}=0.155\left[\left(\frac{0.001/2-0.02438}{0.065/2-0.02438}\right)^{2}-1\right]^{-1}\]
\[V_{2}=0.0203\,m/s\]
4. Calcular 4P usando la Ec. 7:
\[4P=\frac{-0.0203}{[(0.065/2)-0.02438]^{2}}\]
\[4P=-3.0732\]
5. Calcular c usando la Ec. 6:
\[c=0.02438-\sqrt{\frac{-0.0203}{-3.0732}}\]
\[c=0.01626\,m\]
6. CONCLUSIONES
Se ha calculado la distribución espacial del flujo permanente alrededor del desplazamiento por gravedad de una partícula esférica dentro de
un matraz lleno de agua. Dados los diámetros de la partícula y el matraz y utilizando la ley fundamental de la conservación de la masa, usando integrales de volumen y el teorema del valor medio se calculan las coordenadas del punto p2, el cual divide el flujo ascendente, próximo a la pared interior del matraz, del flujo descendente, próximo a la partícula.
BIBLIOGRAFÍA
Ponce, V. M. 2014. Engineering Hydrology, Principles and Practices, Segunda Edición online.
Piskunov, N. 1977. Cálculo Diferencial e Integral, Tercera Edición, Editorial Moscú.
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