1.  Penman model

El modelo original de Penman es un método de combinación en la que se calcula la tasa de evaporación total usando una ponderación de la tasa de evaporación debida a la radiación neta y la tasa de evaporación debida a la transferencia de masa, de la siguiente manera (Ponce, 1989):

Δ En  +  γ Ea E  =   __________________                     Δ  +  γ

(1)

en la cual E = tasa de evaporación total; E_n = evaporación debida a radiación neta; E_a = evaporación debida a transferencia de masa; Δ = gradiente de presión de vapor de saturación, que varía con la temperatura del aire; y γ = constante psicrométrica, la cual varía ligeramente con la temperatura. En la Ecuación 1, la evaporación de transferencia de masa se calcula con una fórmula empírica de transferencia de masa.

2.  Modelo de Penman-Monteith

A diferencia del modelo original de Penman (Ec. 1), en el modelo de Penman-Monteith la tasa de evaporación de transferencia de masa E_a se calcula sobre la base de principios físicos.

La ecuación original de Penman-Monteith, en unidades consistentes es:

Δ H  +  ρa cp (es  -  ea) ra-1 ρλE  =   ______________________________                                  Δ  +  γ*

(2)

en la cual

• ρλE = flujo de energía total por evaporación, en cal cm^-2 s^-1;

• Δ = gradiente de presión de vapor de saturación, en mb °C^-1;

• H = flujo de energía suministrada externamente, por radiación neta, en cal cm^-2 s^-1;

• ρ_a = densidad del aire húmedo, en gr cm^-3;

• c_p = calor específico del aire húmedo, en cal gr^-1 °C^-1;

• (e_s  -  e_a) = déficit de presión de vapor, en mb;

• r_a = resistencia externa (aerodinámica), en s cm^-1; and

• γ* = constante psicrométrica modificada, en mb °C^-1, igual a:

  rs γ*  =   γ ( 1  +  _____  )                            ra

  (3)

  en la cual

• γ = constante psicrométrica, en mb °C^-1, la cual varía ligeramente con la temperatura, y

• r_s = resistencia interna (estomatal o de superficie), en s cm^-1.
  
  

La cantidad r_a^-1 es la conductancia externa, en cm³ de aire por cm² de superficie por segundo (cm s^-1).

En unidades de tasa de evaporación, la Ecuación 2 se expresa de la siguiente manera:

Δ En  +  ρa cp (es  -  ea) ra-1 ρ-1 λ-1 E  =   _________________________________________                                      Δ  +  γ*

(4)

en la cual

• E = tasa total de evaporación, en cm s^-1;

• E_n = tasa de evaporación debida a la radiación neta, en cm s^-1;

• ρ = densidad del agua, en gr cm^-3;

• λ = calor de vaporización del agua, en cal gr^-1;

  y

• Δ, γ*, ρ_a, c_p, (e_s  -  e_a), y r_a están en las mismas unidades que en la Ecuación 2.

La Ecuación 4 es el modelo de evaporación de Penman-Monteith.

3.  Constantes físicas

La densidad del aire seco a nivel del mar es: ρ_ad = 1.2929 kg/m³. La densidad del aire húmedo se puede aproximar de la siguiente manera:

273 ρa  =   ρad ( __________  )                       273 + T

(5)

en la cual T = temperatura del aire, en °C.

Por ejemplo, a T = 20°C y al nivel del mar (presión atmosférica estándar):

ρ_a = 0.0012046 gr cm^-3.

El calor específico del aire húmedo, en el intervalo 0°C ≤ T ≤ 40°C, es:

c_p = 1.005 J gr^-1 °C^-1

La conversión en calorías es:

c_p = (1.005 J gr^-1 °C^-1) (0.239 cal/J) = 0.2402 cal gr^-1 °C^-1.

4.  Tasa de evaporación diaria

En unidades de evaporación de cm d^-1, la Ec. 4 se expresa de la siguiente manera:

Δ En  +  86400 ρa cp (es  -  ea) ra-1 ρ-1 λ-1 E  =   _________________________________________________                                             Δ  +  γ*

(6)

en la cual

• E = tasa total de evaporación (cm d^-1);

• E_n = tasa de evaporación debida a la radiación neta (cm d^-1); y

• Δ, γ*, ρ_a, c_p, (e_s  -  e_a), r_a, ρ, y λ están en las mismas unidades que las Ecucaciones 2 y 4.

La Ecuación 6 se puede expresar convenientemente en forma de Penman (Ecuación 1) como sigue:

Δ En  +  γ* Ea E  =   __________________                     Δ  +  γ*

(7)

en la cual E_a = tasa de evaporación debida a transferencia de masa, en cm d^-1:

5.  Tasa de evaporación debida a transferencia de masa

Comparando las Ecuaciones 6 y 7, se obtiene la tasa de evaporación debida a transferencia de masa:

86400 ρa cp (es  -  ea) Ea  =   ___________________________                       ρ λ γ (ra  +  rs)

(8)

Simplificando la Ecuación 8:

K  (es  -  ea) Ea  =   ___________________                      ra  +  rs

(9)

en la que K = una constante que varía con la temperatura del aire y la presión atmosférica, en unidades de s d^-1 mb^-1, expresada de la siguiente manera:

86400 ρa cp K  =   _________________                      ρ λ γ

(10)

En la Ecuación 10, las unidades de ρ_a, c_p, ρ, λ, y γ son las mismas que en las Ecuaciones 2 y 4.

La constante psicrométrica γ, en mb °C^-1, es:

cp p γ  =  __________              λ rMW

(11)

en la cual c_p = calor específico del aire húmedo, en cal gr^-1 °C^-1; p = presión atmosférica, en mb; λ = calor de vaporización del agua, en cal gr^-1; y r_MW = relación del peso molecular de vapor de agua al aire seco: r_MW = 0.622.

Sustituyendo la Ecuación 11 en la Ecuación 10:

86400 ρa rMW K  =   __________________                        ρ p

(12)

en la cual la constante K permanece en unidades de s d^-1 mb^-1.

Reemplazando r_MW = 0.622 en la Ecuación 12:

53740.8 ρa K  =   ________________                      ρ p

(13)

en la cual la constante K permanece en unidades de s d^-1 mb^-1.

A T = 20°C y a la presión atmosférica normal (nivel del mar): ρ_a = 0.0012046 gr cm^-3, ρ = 0.99821 gr cm^-3, y p = 1013.25 mb. Por lo tanto, la constante K en ;a Ecuacióln 13 reduce a: K = 0.064 s d^-1 mb^-1, y la Ecuación 9 se reduce a:

0.064  (es  -  ea) Ea  =   _____________________                         ra  +  rs

(14)

en la cual

• E_a = tasa de evaporación por transferencia de masa, en cm d^-1;

• (e_s  -  e_a) = déficit de presión de vapor, en mb;

• r_a = resistencia externa (aerodinámica), en s cm^-1; y

• r_s = resistencia interna (estomatal), en s cm^-1.

6.  Resistencia externa

La resistencia externa (o aerodinámica) r_a varía con la rugosidad de la superficie (agua, suelo o vegetación), siendo inversamente proporcional a la velocidad del viento. En otras palabras, la conductancia externa (y por lo tanto, la tasa de evaporación) aumenta con la velocidad del viento, como fue postulado por Dalton (Ponce, 1989).

La resistencia externa para la evaporación del agua se puede estimar de la siguiente manera:

4.72 [ ln (zm / zo) ] 2 ra  =   ________________________                    1  +  0.536 v2

(15)

en la cual

• r_a = resistencia externa, en s m^-1;

• z_m = altura a la cual se miden las variables meteorológicas, en m;

• z_o = rugosidad de la superficie aerodinámica, en m; y

• v₂ = velocidad del viento, en m s^-1, medida a 2 m de altura.

La resistencia externa r_a (s m^-1) para el cultivo de referencia (pasto recortado a 0.12 m de altura), para las mediciones de velocidad del viento (m s^-1), temperatura y humedad a una altura normalizada de 2 m es:

208 rarc  =   _______                  v2

(16)

Por ejemplo, para v₂ = 200 km d^-1 = 200000 m / 86400 s = 2.3148 m s^-1, la resistencia externa o aerodinámica del cultivo de referencia es:

208 rarc  =   ___________   =  89.85 s m-1 = 0.8985 s cm-1.                 2.3148

(17)

7.  Resistencia interna

La resistencia interna (estomatal o de superficie) r_s es inversamente proporcional al índice de área foliar L, es decir, al área proyectada de la vegetación por unidad de superficie. Una relación empírica es:

200 rs  =   _______                L

(18)

en la cual r_s  es en s m^-1 y L es en m s^-1.

El índice de área foliar L está empíricamente relacionada con la altura del cultivo h_c. Dos ejemplos se dan aquí.

Índice de área foliar para la hierba cortada

L = 24 h_c, en la cual la altura del cultivo h_c es en m, que varía en el rango 0.05 ≤ h_c ≤ 0.15.

De la Ecuación 18, la resistencia estomática del cultivo de referencia (pasto recortado a 0.12 m de altura) es:

r_s^rc = 69.4 s m^-1 = 0.694 s cm^-1

Índice de área foliar de alfalfa

L = 5.5 + 1.5 ln (h_c), en la cual la altura del cultivo h_c es en m, que varía en el rango 0.1 ≤ h_c ≤ 0.5.

De la Ecuación 18, la resistencia de los estomas de un cultivo de alfalfa, con h_c = 0.3 m:

r_s = 54.1 s m^-1 = 0.541 s cm^-1

Ejemplo ilustrativo

Calcular la tasa de evaporación del cultivo de referencia mediante el método de Penman-Monteith para el mes de abril, para las siguientes condiciones atmosféricas: temperatura del aire Ta = 20°C; radiación neta Qn = 550 cal cm-2 d-1; velocidad del viento (a 2 m por encima de la superficie) v2 = 200 km d-1; y humedad relativa φ = 70%. Asumir la presión atmosférica normal. Solución. El gradiente de presión de vapor de saturación es: Δ = (0.00815 Ta  +  0.8912)7 = 1.447 mb °C-1. La radiación neta en unidades de evaporación es: En = Qn / (ρ λ) = 550 / (0.99821 × 586) = 0.9402 cm/d. Usando la Ecuación 16, la resistencia externa del cultivo de referencia es: rarc = (208 × 86400)/(200 × 1000) = 89.85 s m-1 = 0.8985 s cm-1. La resistencia interna del cultivo de referencia es: rsrc = 69.4 s m-1 = 0.694 s cm-1. De la Ecuación 11, la constante psicrométrica: γ = (0.2402 × 1013.25 ) / (586 × 0.622) = 0.6677. De la Ecuación 3, la constante psicrométrica modificada es: γ* = 0.6677 [1 + (0.694 / 0.8985)] = 1.183. El déficit de presión de vapor es: (es - ea) ≅ (eo - ea) = eo [ 1 - (φ / 100) ] = 23.37 [ 1 - (70 / 100)] = 7.01 mb. De la Ecuación 14, la tasa de evaporación de transferencia de masa es: Ea = ( 0.064 × 7.01 ) / (0.8985 + 0.694) = 0.2817 cm d-1. De la Ecuación 7, la tasa de evaporación total es: E = [ ( 1.447 × 0.9402 ) + ( 1.183 × 0.2817 ) ] / ( 1.447 + 1.183 ) = 0.644 cm d-1. La velocidad de evaporación mensual (abril) es: E = 30 × 0.644 = 19.32 cm. CÁLCULOS ENLINEA. Utilizando ENLINEA PENMAN MONTEITH, la respuesta es: cultivo de referencia diaria PET = 0.644 cm d-1; cultivo de referencia mensual PET (April) = 19.32 cm. Estos resultados son los mismos que el cálculo manual que se muestra arriba.