El problema de Thomas con cálculo en línea Víctor M. Ponce y Marcela I. Díaz 14 de julio 2023

1.   INTRODUCCIÓN

El problema de Thomas (1934) es un problema clásico de enrutamiento de inundaciones. Thomas calculó una onda sinusoidal de inundación a través de un canal de ancho unitario, de longitud L = 200 millas, y pendiente So = 1 pie/milla. El caudal base es qb = 50 pies cúbicos por segundo por pie, el caudal pico de entrada es qp = 200 pies cúbicos por segundo por pie, y el tiempo de base del hidrograma sinusoidal es Tb = 96 h. En este artículo describimos una calculadora en línea para el problema de Thomas, utilizando el método Muskingum-Cunge (Ponce, 2014). Con el objetivo de estudiar el efecto de la difusión de la escorrentía, la calculadora varía el caudal pico de entrada, el tiempo de base, y la longitud del tramo de canal. La elección para el caudal pico de entrada qp (pies cúbicos por segundo por pie) es: (a) 200, (b) 500, y (c) 1,000. La elección para el tiempo de base Tb (h) es: (a) 48, (b) 96, y (c) 192. La elección para la longitud del tramo de canal L (millas) es: (a) 200, y (b) 500. La precisión del método Muskingum-Cunge ha sido documentada por Ponce et al. (1996).

2.   METODOLOGÍA

El método de Muskingum-Cunge es una variante del método de Muskingum (Chow, 1959) en el cual los coeficientes de enrutamiento se calculan a partir de variables hidráulicas utilizando las fórmulas derivadas de Cunge (1969). Los detalles de la metodología están dados por Ponce (2014). Con referencia a la Fig. 1, la ecuación de enrutamiento del método Muskingum-Cunge es: Q j+1 n+1 = Co Qj n+1 + C1 Q j n + C2 Qj+1n (1) Fig. 1  Discretización espacial y temporal del método Muskingum-Cunge. en la cual j = índice espacial, n = índice temporal, y los coeficientes de enrutamiento, C0, C1, y C2 se calculan de la siguiente manera (Ponce y Yevyevich, 1978):              -1 + C + D C0  =  _______________               1 + C + D (2)              1 + C  - D C1  =  ______________              1 + C + D (3)               1 - C + D C2  =  _______________               1 + C + D (4) en la cual C es el número de Courant:               Δt       C =  c  ______                Δx (5) y D es el número de Reynolds de la malla:                   q       D =    ____________               So c Δx (6) en la cual Δt = intervalo temporal, y Δx = intervalo espacial. La curva de gasto q vs d es: q = α d β (7) en la cual q = caudal unitario, d = profundidad de flujo, α = coeficiente de la curva de gasto, y β = exponente de la curva de gasto. La celeridad de la onda de inundación c se puede calcular de la siguiente manera (Seddon, 1900; Ponce, 2014):               q       c =  β  _____                d (8) En el método Muskingum-Cunge de parámetros constantes (Ponce, 2014), los parámetros de enrutamiento C y D se calculan en base al caudal medio de entrada qa:               qb  +  qp        qa =    ____________                      2 (9) El caudal medio de entrada se mantiene constante durante todo el cálculo.

3.   EL PROBLEMA DE TOMÁS

El problema original de Thomas tiene las siguientes especificaciones: Caudal base qb = 50 pies cúbicos por segundo por pie Caudal pico qp = 200 pies cúbicos por segundo por pie Tiempo de base del hidrograma: Tb = 96 h Longitud del tramo de canal L = 200 millas Pendiente del canal So = 1 pie/milla Intervalo de tiempo Δt = 12 h Intervalo de espacio Δx = 25 millas Coeficiente de la curva de gasto:   α = 0.688 Exponente de la curva de gasto:   β = 5/3 El valor del coeficiente de fricción de Manning, calculado a partir de la curva de gasto, es n = 0.0297.

4.   CALCULADORA EN LÍNEA

La calculadora en línea es similar al problema de Thomas, con extensiones importantes: Longitud de canal ⇒ L (millas): (a) 200, y (b) 500. Caudales picos unitarios de entrada ⇒ qp (pies cúbicos por segundo por pie): (a) 200, (b) 500, y (c) 1,000. Tenga en cuenta que esta opción proporciona relaciones de flujo pico de entrada/flujo base ⇒ qp /qb : (a) 4, (b) 10, y (c) 20. Tiempo de base del hidrograma ⇒ Tb (h): (a) 48, (b) 96, y (c) 192. El multiplicador de tiempo de base adoptado para determinar el tiempo total de simulación (TTS) (h) es 2.5. Por lo tanto, los valores correspondientes de TTS para los tres valores seleccionados de Tb son: (a) 120 h (5 días), (b) 240 h (10 días), y (c) 480 h (20 días). La Tabla 1 muestra los datos de entrada y los parámetros de enrutamiento para las dieciocho (18) combinaciones posibles: (2 longitudes de canal L) × (3 caudales picos unitarios de entrada qp) × (3 tiempos de base Tb). El parámetro Nt es el número total de intervalos de tiempo; Nx es el número total de intervalos de espacio. Los intervalos temporales y espaciales que se muestran en la Tabla 1 se han elegido juiciosamente de modo que el número de Courant esté razonablemente cerca de 1 (Col. 9). Esto es necesario para preservar la precisión del cálculo numérico (Ponce y Theurer, 1982; Ponce, 2014). Tabla 1.  Datos de entrada y parámetros de enrutamiento para dieciocho (18) combinaciones posibles. Ensayo L (millas) qp (pies cúbicos por segundo por pie) qp / qb qa (pies cúbicos por segundo por pie) Tb (h) Δt (h) Δx (millas) C D TTS (h) Nt Nx (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) 1 200 200 4 125 48 1.5 12.5 0.75 1.09 120 80 16 2 96 3 25 0.75 0.54 240 80 8 3 192 6 50 0.75 0.27 480 80 4 4 500 10 275 48 1.5 12.5 1.03 1.75 120 80 16 5 96 3 25 1.03 0.87 240 80 8 6 192 6 50 1.03 0.44 480 80 4 7 1,000 20 525 48 1.5 12.5 1.33 2.58 120 80 16 8 96 3 25 1.33 1.29 240 80 8 9 192 6 50 1.33 0.64 480 80 4 10 500 200 4 125 48 1.5 12.5 0.75 1.09 120 80 40 11 96 3 25 0.75 0.54 240 80 20 12 192 6 50 0.75 0.27 480 80 10 13 500 10 275 48 1.5 12.5 1.03 1.75 120 80 40 14 96 3 25 1.03 0.87 240 80 20 15 192 6 50 1.03 0.44 480 80 10 16 1,000 20 525 48 1.5 12.5 1.33 2.58 120 80 40 17 96 3 25 1.33 1.29 240 80 20 18 192 6 50 1.33 0.64 480 80 10 5.   EJEMPLO El Ensayo 11 de la Tabla 1 se escoje aquí como un ejemplo del uso de la calculadora. Para este caso: L = 500 millas qp = 200 pies cúbicos por segundo por pie Tb = 96 h Los resultados del Problema de Thomas en línea se muestran en la Fig. 2. Son los siguientes: Salida máxima:  qpo = 176.84 pies cúbicos por segundo por pie. Tiempo hasta el pico [estimado]:   tp = 128 h. A modo de comparación, los resultados analíticos obtenidos por Ponce et al. (1996) utilizando la teoría de ondas de difusión son: qpo = 176.74 pies cúbicos por segundo por pie, y tp = 127.82 h. La concordancia entre los resultados numéricos y analíticos es realmente notable. Fig. 2  Resultados de la ejecución 11 del problema de Thomas en línea. 6.   CONCLUSIONES Se ha desarrollado una calculadora del problema de Thomas en línea utilizando el método Muskingum-Cunge (Ponce, 2014) La calculadora varía el caudal pico unitario de entrada, el tiempo de base y la longitud del canal, lo que le permite analizar el efecto de la difusión de la escorrentía en el hidrograma de salida. Las opciones de entrada son las siguientes: Caudal pico unitario de entrada qp (pies cúbicos por segundo por pie): (a) 200, (b) 500, y (c) 1,000. Tiempo base del hidrograma Tb (h): (a) 48, (b) 96, y (c) 192. Longitud del tramo de canal L (millas): (a) 200, y (b) 500. Se demuestra que los resultados numéricos están en estrecho acuerdo con los resultados analíticos del problema de Thomas. BIBLIOGRAFÍA Chow, V. T. 1959. Open-channel hydraulics. McGraw-Hill, New York. Cunge, J. A. 1969. On the subject of a flood propagation computation method (Muskingum method), Journal of Hydraulic Research, Vol. 7, No. 2, 205-230. Ponce, V. M. y V. Yevjevich. 1978. Muskingum-Cunge method with variable parameters. J. Hydraul. Div. ASCE, 104(HY12), 1663-1667. Ponce, V. M. y F. D. Theurer. 1982. Accuracy criteria in diffusion routing. J. Hydraul. Div., ASCE, 108(HY6), 747-757. Ponce, V. M., A. K. Lohani, y C. Scheyhing. 1996. Analytical verification of Muskingum-Cunge routing. Journal of Hydrology, Vol. 174, 235-241. Ponce, V. M. 2014. Engineering hydrology: Principles y practices. Online text. Thomas H. A.. 1934. The hydraulics of flood movement in rivers. Engineering Bulletin, Carnegie Institute of Technology, Pittsburgh, PA. Seddon, J. A. 1900. River hydraulics. Transactions, ASCE, Vol. XLIII, 179-243, June.