El flujo a través de un embalse está regido por la ecuación unidimensional de almacenamiento (Fig. 2):

dS I - O  =  _____                dt

(1)

en la que I = caudal de entrada, O = caudal de salida, y dS / dt = velocidad de cambio del almacenamiento, expresada en unidades L³ T ^-1.

Fig. 2  Flujo de entrada, flujo de salida, y la velocidad de cambio de almacenamiento en un volumen de control.

La siguiente es una relación comúnmente utilizada entre el caudal de salida y el almacenamiento:

S = K O m

(2)

en la cual K = coeficiente de almacenamiento y m = exponente. Para m = 1, la Ecuación 2 se reduce a la forma lineal

S = K O

(3)

en la cual K es una constante de proporcionalidad o coeficiente de almacenamiento lineal, que tiene las unidades de tiempo (T). Cuando se combinan con la Ecuación 1, ya sea la Ecuación 2 o la Ecuación 3 proporcionarán difusión de la escorrentía (Ponce, 1989; 2014).

3.  DIFUSIÓN EN EL FLUJO EN CANALES ABIERTOS

Los canales son elementos hidráulicos de agua superficial que pueden o no puede proporcionar difusión de la escorrentía, dependiendo de la escala relativa de la onda de avenida. La cantidad de difusión de onda se caracteriza por el número adimensional de onda σ, como se muestra en la Figura 3. El número adimensional de onda se define como:

2 π σ  =  _______  Lo              L

(4)

en la cual L = longitud de onda, y L_o = longitud del canal en el cual el flujo de equilibrio cae una altura igual a su profundidad (Lighthill and Whitham, 1955):

do Lo  =  ______              So

(5)

Se han identificado cuatro tipos de ondas:

1. Ondas cinemáticas,

2. Ondas difusivas,

3. Ondas cinemático-dinámicas mixtas, y

4. Ondas dinámicas.

Las ondas cinemáticas se encuentran en el lado izquierdo del espectro de número de onda, ofreciendo un valor constante de la celeridad relativa adimensional, por lo tanto la atenuación es nula. Las ondas dinámicas se encuentran en el lado derecho, con un valor constante de la celeridad relativa adimensional y atenuación nula. Las ondas cinemático-dinámicas mixtas se encuentran en el centro del espectro, con celeridad de la onda relativa adimensional variable y atenuación media a alta. Las ondas difusivas son intermedias entre las ondas cinemáticas y las ondas cinemático-dinámicas mixtas, con una atenuación suave. [Nótese que en la práctica de la ingeniería hidráulica, a la onda dinámica se la refiere comúnmente como ondas de Lagrange o ondas "corta", mientras que a la onda cinemático-dinámica mixta se la refiere comúnmente como "onda dinámica" alimentando una confusión semántica].

Fig. 3  Celeridad de propagación de ondas en flujo en canales abiertos (Ponce and Simons, 1977).

Para los cálculos de transito de avenidas, las ecuaciones de gobierno de continuidad y movimiento, comúnmente conocidas como las ecuaciones de Saint Venant, pueden ser linearizadas y combinadas en una ecuación de convección-difusión, con el caudal Q como la variable dependiente (Hayami, 1951; Dooge, 1973; Dooge et al., 1982; Ponce, 1991a ; Ponce, 1991b):

∂Q              dQ        ∂Q                 Qo                             ∂2Q ______  +  ( ______ ) ______  =  [ ( ________ ) ( 1 - V 2 ) ] _______    ∂t               dA         ∂x               2 T So                          ∂x2

(6)

en la cual V = número de Vedernikov, que se define como la relación entre la celeridad relativa de la onda cinemática y la celeridad relativa de la onda dinámica (Ponce, 1991b):

(β - 1) Vo    V  =  ______________               (g do)1/2

(7)

en la cual β = exponente de la curva de gasto Q = α A^β, V_o = velocidad de flujo, d_o = tirante, y g = aceleración de la gravedad.

En la Ecuación 6, para V = 0, el coeficiente del término de segundo orden se reduce a la difusividad hidráulica cinemática, originalmente debida a Hayami (1951). Por otro lado, para V = 1, el coeficiente del término de segundo orden se reduce a cero, y el término de difusión desaparece. Bajo esta condición, todas las ondas, independientemente de la escala, viajan a la misma velocidad, fomentando el desarrollo de ondas de rollo (Fig. 4).

Fig. 4  Ondas de rollo en un canal de pendiente empinada.

4.  DIFUSIÓN EN EL TŔANSITO EN CUENCAS

La escorrentía superficial puede ser de tres tipos: (Ponce, 1989; 2014):

1. Flujo concentrado, cuando la duración efectiva de la precipitación es igual al tiempo de concentración,

2. Flujo superconcentrado, cuando la duración efectiva de la precipitación es mayor que el tiempo de concentración, y

3. Flujo subconcentrado, cuando la duración efectiva de la precipitación es menor que el tiempo de concentración.

La Figura 5 muestra un esquema de libro abierto usado en la modelación de flujo superficial. La entrada es precipitación efectiva en dos planos adyacentes a un canal. La salida es el hidrograma en la sección de salida de la cuenca.

Fig. 5  Esquema de libro abierto usado en la modelación de agua superficial en cuencas.

La Figura 6 muestra los hidrogramas de salida para los tres casos descritos anteriormente (Ponce y Klabunde, 1999). El caudal pico posible es: Q_p = I_eA, en la que I_e = intensidad efectiva de precipitación, y A = área de la cuenca. Por definición, el caudal pico se alcanza en un flujo superconcentrado o concentrado. Sin embargo, en el caso de flujo subconcentrado, el caudal pico no llega a alcanzar el valor máximo posible. Efectivamente, esto representa difusión de escorrentía, debido a que efectivamente el flujo se ha extendido en el tiempo (y el espacio).

Por lo tanto, la difusión de la escorrentía se produce para todas las ondas cuando el tiempo de concentración es superior a la duración efectiva de precipitación,. Este suele ser el caso de las cuencas medianas y grandes, para los que la pendiente de la cuenca (a lo largo de la longitud hidráulica) es suficientemente pequeña. El tiempo de concentración está directamente relacionado con la longitud hidráulica de la cuenca y la fricción de fondo, e inversamente relacionada con la pendiente de fondo e intensidad efectiva de precipitación (Ponce, 1989; 2014).

Fig. 6  Hidrogramas adimensionales de escorrentía de cuencas (Ponce and Klabunde, 1999).

La Figura 7 muestra el hidrograma adimensional para un modelo de onda cinemática (marcado KW) y para varios modelos conceptuales de almacenamiento, para el rango de exponente m (Ecuación 2) desde m = 1, correspondiente a un embalse lineal, a m = 3, correspondiente a flujo laminar (Ponce et al., 1997). El tiempo de equilibrio de la onda cinemática, similar al tiempo de concentración, es teóricamente igual a la mitad del tiempo de concentración de los modelos basados en almacenamiento (Ponce, 1989; 2014). Se ve que los modelos de almacenamiento estiran el hidrograma y, en consecuencia, producen la difusión, mientras que el modelo de onda cinemática carece por completo de difusión de la escorrentía. El tiempo de equilibrio de la onda cinemática es el valor más corto posible de tiempo de concentración, lo que resulta, en su conjunto, en mayores flujos pico. Así, bajo el flujo de onda cinemática pura, la difusión de la escorrentía es nula.

Fig. 7  Hidrogramas de subida del flujo superficial en cuencas (Ponce et al., 1997).

En la práctica, un modelo numérico de onda cinemática no está totalmente desprovisto de difusión, debido a la aparición de difusión numérica (Ponce, 1991a). De hecho, todos los esquemas de primer orden de la ecuación de onda cinemática producen difusión numérica. Esta difusión, sin embargo, no está controlada, no está basada en parámetros físicos y, por lo tanto no tiene relación con la verdadera difusión del problema físico.

5.  DIFUSIÓN EN CÁLCULOS EN LÍNEA

La difusión de la escorrentía se puede calcular con los siguientes programas en línea:

• Programa ONLINE ROUTING01 para el tránsito en embalses lineales.

• Programa ONLINE ROUTING05 para el tránsito en canales abiertos, utilizando el Método Muskingum-Cunge.

• Program ONLINE OVERLAND para el flujo superficial en cuencas utilizando el método de la onda de difusión.

6.  CONCLUSIONES

El concepto de difusión de la escorrentía se examina con el fin de aclarar su rol en relación con el tránsito de avenidas en embalses, canales y cuencas. Todos los cálculos de tránsito de avenidas calculan de alguna manera la cantidad de difusión de onda. La difusión es la atenuación del hidrograma en el tiempo y, por lo tanto, en el espacio. La difusión es inherente a los embalses y siempre se produce en el flujo a través de los embalses.

En el flujo en canales, la difusión se produce en ausencia de las condiciones de la onda cinemática, es decir, en condiciones de onda difusiva, o de onda cinemático-dinámica mixta, siempre que el número de Vedernikov sea menor que 1. En el umbral V = 1, toda difusión desaparece y esto promueve el desarrollo de ondas de rollo.

En la escorrentía de cuencas, la difusión se produce bajo las siguientes condiciones: (1) para todos los tipos de onda, cuando el tiempo de concentración excede la duración efectiva de precipitación, es decir, para el flujo subconcentrado de cuenca, una condición que generalmente se asocia con cuencas medianas y grandes, o (2) para todos las duraciones efectivas de precipitación, cuando la onda es una onda difusiva (o tipo de onda mixta), condición que por lo general se asocia con una pendiente de cuenca suficientemente suave. En conclusión, la difusión se produce en: (1) cuencas medianas y grandes, con tiempo de concentración largo, y/o (2) en pendientes leves de cuenca, las cuales normalmente presentan ondas difusivas.

BIBLIOGRAFÍA

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Dooge, J. C. I., W. B. Strupczewski, and J. J. Napiorkowski. (1982). Hydrodynamic derivation of storage parameters of the Muskingum model, Journal of Hydrology, Vol. 54, 371-387.

Hayami, S. (1951). On the propagation of flood waves. Bulletin No. 1, Disaster Prevention Research Institute, Kyoto University, Kyoto, Japan, December.

Lighthill, M. J., and G. B. Whitham. 1955. On kinematic waves: I. Flood movement in long rivers. Proceedings, Royal Society of London, Series A, 229, 281-316.

Ponce, V. M., and D. B. Simons. (1977). Shallow wave propagation in open channel flow. Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Vol. 103, No. HY12, pages 1461-1476, December.

Ponce, V. M. (1986). Diffusion wave modeling of catchment dynamics. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 112, No. 8, pages 716-727, August.

Ponce, V. M. (1989). Engineering hydrology: Principles and practices, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

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Ponce, V. M. (2014). Engineering hydrology: Principles and practices, Second edition, online.