1.  INTRODUCCIÓN

Hay aproximadamente 50 000 represas en los Estados Unidos, el 40% de las cuales han sido clasificadas en caso de fallas como potencialmente peligrosas para la vida y la propiedad (23). La mayoría de estas presas son terraplenes de tierra, y la falla de los terraplenes de tierra generalmente se asocia con algún tipo de brecha o rotura. A pesar de estas impresionantes estadísticas, se sabe muy poco sobre el mecanismo de rotura: su inicio, forma y velocidad de desarrollo.

Las pocas fallas documentadas en las presas de tierra han mostrado un común denominador sorprendente: la falla no es instantánea. Por ejemplo, en el caso de desbordamiento, se formará una brecha y crecerá gradualmente bajo la acción erosiva de las aguas. Esta falla gradual de una presa de tierra es de particular interés para el personal del encargado de defensa civil en casos de desastre, porque la tasa de crecimiento de la brecha influye fuertemente en el pico y la forma de la onda de inundación. En este caso, la falla gradual debe contrastarse con la falla instantánea comúnmente asumida, pues la primera dura unas horas en la mayoría de los casos.

El objetivo de este artículo es presentar un modelo matemático de la falla gradual de una presa de tierra. El cuerpo principal del artículo contiene una revisión de la literatura pertinente y una descripción de la formulación del modelo. El modelo matemático se prueba utilizando datos de la falla de la presa Huaccoto, que ocurrió en el centro del Perú en junio de 1974.

El objetivo es lograr una simulación física realista de la falla gradual de un terraplén de tierra causada por un evento de desbordamiento por inundación. El enfoque que aquí se presenta es probablemente el primer intento de solucionar este problema dentro del marco de una técnica de solución numérica implícita. La técnica implícita resuelve los tirantes de flujo del agua simultáneamente en todas las secciones transversales mediante intervalos de tiempo. Los principios de flujo no permanente en canales, la mecánica de transporte de sedimentos y la morfología de la brecha se combinan para simular la falla del terraplén. Otras mejoras en el modelo, específicamente en la descripción de la morfología de la brecha, serán objeto de investigación en el futuro.

Hay una gran cantidad de investigaciones que cubren el caso de falla instantánea de una presa. Hacemos referencia a los artículos de Ritter (16), Dressler (5) y Whitham (25), para nombrar algunos. La falla instantánea provoca una onda positiva en la dirección aguas abajo y una onda negativa en la dirección aguas arriba. Como lo demuestra el artículo reciente de Brown y Rogers (1), es probable que tal suposición esté muy lejos de la realidad en el caso de una brecha gradual. En su investigación de la falla de la presa Teton, Brown y Rogers documentaron una sección de control que se formó aguas arriba de la brecha y describieron cómo el nivel del embalse descendió uniformemente aguas arriba de esta sección, evitando que la onda negativa se propagara aguas arriba. La duración de la brecha de Teton fue de aproximadamente 3 horas.

El trabajo de Cristofano es quizás el primer intento de simular el desarrollo de una brecha en una presa de tierra. Utilizando principios geotécnicos, Cristofano equiparó la fuerza del agua que fluye a través de la brecha con la resistencia al corte que actúa sobre la superficie inferior del canal de desbordamiento. De esta manera, pudo relacionar la velocidad de erosión con la velocidad del agua que fluye a través del canal de desbordamiento. Este análisis condujo a una ecuación algebraica que relaciona la cantidad de material erosionado con el flujo de agua a través de la brecha.

Cristofano asumió que el ancho superior de la brecha se mantendría constante a lo largo del tiempo y que la brecha mantendría una forma trapezoidal durante todo el proceso de falla. Además, fijó las pendientes laterales de la brecha igual al ángulo de reposo del material del banco y la pendiente del fondo del canal de desbordamiento igual al ángulo de fricción del material del lecho. Sin embargo, el uso de una constante arbitraria en la fórmula de Cristofano la vuelve, en efecto, empírica. A pesar de esta limitación, la fórmula se ha utilizado en estimaciones preliminares del potencial de rotura de una presa, como lo demuestra la práctica de TVA (Tennessee Valley Authority) (13).

A finales de la década de 1950, la Estación Experimental de Vías Navegables del Cuerpo de Ingenieros del Ejército de los Estados Unidos (WES) utilizó modelos físicos para llevar a cabo una investigación exhaustiva de las inundaciones resultantes de presas con roturas instantáneas (21, 22). Se encontró una correlación entre el caudal máximo de una presa que se rompió repentinamente y un factor de forma que describe la geometría de la brecha. Los hallazgos de WES apoyan la conclusión de que el número de Froude basado en el flujo máximo alcanzaría un valor de 0.29, lo que verifica la ecuación de Schoklitsch (19) para el flujo pico en la falla instantánea de una presa.

Los hallazgos de WES no se aplican al caso de la rotura gradual de una presa de tierra. Los experimentos se llevaron a cabo en un canal de laboratorio de pendiente del lecho, sección transversal y características de rugosidad especificadas, y la falla se simuló mediante la remoción casi instantánea de parte o toda la presa. Por lo tanto, si bien las pruebas fueron representativas de un caso de falla instantánea, los resultados no pueden asociarse con fallas graduales porque la hidráulica de los dos casos es de hecho bastante diferente.

Prince et al. (15) de TVA han informado sobre modelos que utilizan las relaciones para rupturas instantáneas de presas desarrolladas por WES. No aplican sus modelos a presas de tierra, sino a fallas instantánea de grandes presas de gravedad. Su y Barnes (20) estudiaron los efectos geométricos y de fricción de las roturas instantáneas y concluyeron que tanto la resistencia como la forma de la sección transversal eran importantes para determinar el comportamiento de las ondas causadas por roturas instantáneas.

Brown y Rogers (1) desarrollaron un modelo computacional basado en trabajos anteriores de Harris y Wagner (9), en el que se utilizó la fórmula de Schoklitsch para calcular el sedimento en suspensión. Estos autores consideraron la falla de una presa de tierra inmediatamente después del desborde, la degradación de la brecha y la erosión completa al nivel del lecho original.

Brown y Rogers hacen varias observaciones bastante lúcidas con respecto a la mecánica del desarrollo de la brecha, señalando la necesidad de incorporar la erosión lateral en la simulación. También abordan algunas de las diferencias en los modos de falla para presas de tierra excepcionalmente altas, en comparación con terraplenes largos y bajos. Además, señalan que la mayor parte del material erosionado de la brecha se deposita casi inmediatamente aguas abajo de la presa, lo que afecta los tirantes de agua y el hidrograma de salida.

Fread (7) ha contribuido sustancialmente a modelar los fenómenos de ruptura de presas en los últimos años. Su tesis doctoral trató sobre un modelo de rotura de presa que utilizó el método de las características como su esquema de solución numérica. La versión más actual del modelo de Fread utiliza el esquema implícito de diferencias finitas de cuatro puntos (8).

Fread asume que la tasa de crecimiento de la brecha depende del tiempo, con forma rectangular, triangular o trapezoidal. Para lograrlo, considera que la erosión vertical se produce a un ritmo constante y predeterminado. Este supuesto es conveniente porque permite fijar a priori la escala temporal del fenómeno. Sin embargo, esto hace que el modelo sea incapaz de predecir las propiedades de las ondas de inundación inducidas por la rotura. Se puede producir una variedad de eventos para un rango dado de tasas de erosión vertical, pero no se puede discernir qué evento es probable que ocurra. Fread indica que el hidrograma de salida es extremadamente sensible a la tasa de erosión vertical elegida, pero asume que cualquier error en la predicción se amortiguará a medida que la onda súbita se traslade aguas abajo.

La principal preocupación de Fread es el enrutamiento de la onda de inundación en el valle aguas abajo despúes de la rotura de la presa, lo cual es el objetivo final de cualquier investigación. Sin embargo, debe enfatizarse que la tasa de erosión y el modo de falla determinan en gran medida la forma y duración de la onda de avenida. Hasta que este mecanismo se comprenda mejor y se describa adecuadamente mediante modelos matemáticos, el enfoque de Fread puede considerarse como una aproximación que resulta en una gama de eventos probables.

Para una descripción de los incidentes de represas en los Estados Unidos, se hace referencia a la publicación de ASCE-USCOLD (24). Este informe contiene una lista cronológica documentada de incidentes de presas que involucran incidentes de fallas de presas importantes que se remontan a los finales del siglo XIX. En notable contraste con la preocupación general por la seguridad de las represas, este libro documenta un excelente historial de seguridad para las represas de los Estados Unidos.

2.  DESARROLLO TEÓRICO

El modelo aquí descrito tiene cinco componentes: (1) esquema numérico; (2) fricción de fondo del canal; (3) enrutamiento de sedimentos; (4) morfología de la brecha; y (5) condiciones iniciales y de contorno.

Esquema numérico. La extensa literatura sobre flujo no permanente y modelos numéricos justifica el uso de una solución implícita de la onda dinámica para simular una ruptura gradual. La velocidad de crecida del hidrograma de flujo de salida es rápido en comparación con una de onda de inundación convencional. Por lo tanto, su descripción debe considerar los términos de inercia en la ecuación de movimiento, es decir, un modelo dinámico.

El esquema implícito de cuatro puntos, también conocido como esquema de Preissmann, se utiliza en la simulación (11). En teoría, este esquema es incondicionalmente estable; en la práctica, sin embargo, a menudo es necesario introducir un factor de ponderación para amortiguar las perturbaciones cuyo tamaño es del orden del tamaño de la malla. Además, la especificación adecuada de las condiciones iniciales y de contorno es crucial para la estabilidad y convergencia de la solución numérica. La eficacia del esquema de Preissmann está bien documentada en la literatura.

Fricción de fondo. No se dispone de una expresión final o completa para la fricción de fondo; en la práctica se siguen utilizando ecuaciones empíricas. Estas ecuaciones se han derivado para condiciones de flujo de equilibrio y su aplicación al flujo no permanente se justifica desde un punto de vista práctico.

El modelo utiliza la ecuación de Manning para describir la fricción de fondo. Por simplicidad, el coeficiente de Manning se mantiene constante en el tiempo y en el espacio. Se observa que puede ser promisorio relacionar la fricción de fondo con las características hidráulicas y de sedimentos de la brecha.

Enrutamiento de sedimentos. El componente de enrutamiento de sedimentos tiene dos características: (1) Solución numérica de la ecuación de continuidad de sedimentos (la ecuación de Exner); y (2) cálculo del transporte de material del lecho utilizando una fórmula de carga del lecho adecuada para su aplicación a flujos de alto número de Froude. En esta aplicación, es probable que la escala de tiempo de las ondas de agua y sedimentos sea la misma porque los cambios en el lecho del canal se están produciendo a una velocidad comparable a los cambios en la elevación de la superficie del agua. Por lo tanto, se utiliza el mismo intervalo de tiempo para el enrutamiento de agua y sedimentos.

La elección de una función de carga de lecho adecuada aplicable a flujos de alto número de Froude sigue siendo una cuestión de conveniencia computacional. Los modelos fenomenológicos como el de Einstein (6) resultan atractivos, considerando el detalle físico que se puede incorporar en la simulación. Sin embargo, la complejidad de estos modelos representa una clara limitación. Por motivos prácticos, se ha seleccionado una ecuación más simple como la de Meyer-Peter y Müller. Esta ecuación se puede expresar de la siguiente manera:

qs = a ( τ - τc ) b

(1)

en la cual q_s = tasa de transporte de material de fondo, en peso, por unidad de ancho; τ = esfuerzo cortante de fondo; τ_c = esfuerzo cortante crítico (esfuerzo cortante al inicio del movimiento); y a, b = coeficiente y exponente, respectivamente. Un valor de b = 1.5 se reconoce ampliamente en relación con flujos de alto número de Froude, mientras que el valor de a está basado en experiencia.

El esfuerzo cortante de fondo se expresa mediante la siguiente fórmula:

τ = γ d Sf

(2)

en la cual γ = densidad del agua; d = profundidad de flujo; y S_f = pendiente de fricción. El esfuerzo cortante crítico se expresa de la siguiente manera:

τc = 0.047 ( γs - γ ) D50

(3)

en el cual γ_s = densidad de sólidos; y D₅₀ = diámetro medio del grano de partículas sólidas. Para pendientes pronunciadas y altas tasas de transporte de sedimentos, como en el caso de rotura de una presa, es probable que el esfuerzo cortante de fondo sea varios órdenes de magnitud mayor que el esfuerzo cortante crítico. Por lo tanto, la Ec. 1 se puede simplificar de la siguiente manera:

qs = a τ 1.5

(4)

Morfología de la brecha. El modelo incluye un componente para unir la geometría de la sección transversal de la brecha al flujo de salida de la presa que falla. Esta relación debe funcionar como un grado adicional de libertad para representar el desarrollo vertical y lateral de la brecha de una manera físicamente realista. En su etapa actual de desarrollo, el componente de morfología de la brecha consiste en una relación entre el ancho superior y la tasa de flujo. La existencia de tal relación tiene sus raíces en la teoría sobre canales en régimen (regime theory). Se utiliza aquí para canales de desequilibrio por falta de una teoría rigurosa de morfología de rotura. Este aspecto del modelado se puede mejorar fácilmente a medida en que investigación adicional ayude a aclarar los principios morfológicos directores. Los trabajos recientes de Parker (14) y Chang (3) son pasos importantes en esta dirección.

Condiciones iniciales y de contorno. La especificación correcta de las condiciones iniciales y de contorno es un aspecto crucial del modelado. La conveniencia computacional dicta que los valores iniciales de las variables hidráulicas sean finitos, es decir, distintos de cero. Por lo tanto, se especifica un flujo pequeño pero finito como condición inicial en el lado aguas abajo de la presa. Las condiciones hidráulicas se determinan utilizando principios de flujo permanente.

La condición de frontera aguas arriba es el nivel de la superficie del agua del embalse. Además, se especifica la elevación de la corona de la presa. El flujo de salida al inicio del cálculo es una función del tamaño especificado de la corriente inicial. La erosión progresiva ensancha y profundiza la corriente, aumentando el caudal de salida y la tasa de erosión de manera autogenerada. La sección transversal superior en la cara inclinada de la corriente descendente "se arrastra" hacia aguas arriba a través de la parte superior de la presa hasta que alcanza la cara aguas arriba, por lo que las descargas líquidas y sólidas aumentan a un ritmo acelerado.

Si el flujo de salida aumenta lo suficiente como para bajar el nivel del embalse más rápido de lo que se erosiona el lecho del canal, tanto el flujo de salida como la erosión disminuyen gradualmente. Por supuesto, el flujo de salida eventualmente disminuirá, inclusive si el lecho de la brecha se erosiona hasta el lecho del arroyo. Este modo de falla crea el hidrograma de salida en forma de una onda de inundación de ascenso relativamente rápido pero gradual.

3.  DESCRIPCIÓN DEL MODELO

El modelo matemático asume una falla por desbordamiento de un terraplén de tierra, por lo que una brecha comienza a crecer en algún punto bajo o débil de la cresta y la cara aguas abajo. Ésta es una forma probable de falla de un terraplén pequeño. La tarea real de modelar por medios computacionales puede ser bastante exigente. Diversos cálculos deben ensamblarse en un marco lógico y estable para lograr una solución numérica viable.

El modelo tiene los siguientes componentes: (1) Datos de entrada y condiciones iniciales; (2) características de la sección transversal; (3) coeficientes de la matriz y solución de doble barrido; (4) descripción de la geometría de rotura; (5) transporte de sedimentos; y (6) enrutamiento en el embalse. El modelo simula variaciones espaciales y temporales de las características hidráulicas y de la sección transversal a lo largo de la brecha, desde el inicio hasta que el embalse se haya drenado por completo o la brecha haya dejado de erosionarse. A continuación se proporcionan detalles adicionales sobre el modelo matemático.

Datos de entrada y condiciones iniciales. Las subrutinas se utilizan para ingresar datos como área inicial, ancho, profundidad y caudal; geometría de presa y brecha; características del suelo; coeficientes de rugosidad; resolución espacial y temporal; etc.

Características transversales. Las características de la sección transversal se describen mediante las siguientes ecuaciones:

y = α Aβ

(5)

y

P = a1 Ab1

(6)

en las cuales y = elevación del pelo de agua; A = área de la sección transversal; P = perímetro mojado; y α y a₁, β y b₁ son coeficientes y exponentes, respectivamente. Se utiliza un ajuste de mínimos cuadrados para determinar los coeficientes y exponentes de las Ecs. 5 y 6 en función de la distancia (a lo largo del canal de brecha) y el tiempo (logrado mediante la actualización de los parámetros transversales después de cada intervalo de tiempo).

Coeficientes matriciales y solución de doble barrido. Estos componentes del modelo calculan los coeficientes de las ecuaciones discretizadas de Saint Venant y resuelven la matriz resultante mediante la técnica de solución de doble barrido. Para un tratamiento detallado de la discretización siguiendo el esquema de Preissmann, se hace referencia a Liggett y Cunge (11).

Descripción de la geometría de rotura. Para describir adecuadamente la rotura gradual de una presa de tierra, la geometría de la rotura debe estar relacionada con la hidráulica del flujo y las propiedades del material del lecho. Según Johnson e Illes (10), la geometría de la brecha está directamente relacionada con la duración y la forma de la onda de desbordamiento. Estos autores afirman que normalmente la brecha es entre una y tres veces más ancha que profunda. Sin embargo, no existe ninguna investigación documentada que relacione la geometría de la brecha con la hidráulica local. Por simplicidad; los autores inicialmente asumieron que el ancho superior de la brecha se mantendría constante. Después de lograr una simulación estable y físicamente realista, se superó el supuesto de ancho constante y, en cambio, se especificó una relación entre el ancho de la brecha y el caudal. Esta relación se aplicó desde el inicio hasta el flujo pico, después de lo cual el ancho de la brecha se mantuvo constante e igual al ancho correspondiente al flujo pico.

Esta descripción de la geometría de la brecha proporcionó resultados satisfactorios y permitió una mayor flexibilidad y una mejor simulación. La implementación futura del modelo debe concentrarse en identificar los mecanismos de erosión subyacentes e incorporarlos en la simulación.

Transporte de sedimentos. El modelo usa la ecuación de continuidad de sedimentos (la ecuación de Exner) para describir los procesos erosivos en el lecho del canal. La ecuación de Exner se expresa de la siguiente manera:

∂ Qs                            ∂ z _____ + ( 1 - p ) γs B  ____ = 0  ∂ x                             ∂ t

(7)

en la cual Q_s = transporte de sedimentos, por peso; p = porosidad del material que forma el lecho; B = ancho medio del canal; y z = elevación de fondo. La Ecuación 7 permite el cálculo del cambio en la elevación del lecho en función del transporte de sedimentos y las propiedades del material del lecho.

Para describir el transporte de sedimentos, se utiliza la ecuación de Meyer-Peter y Müller. Sobre esta base, se puede asumir una relación simple pero confiable entre el transporte de sedimentos y la velocidad media. De esta manera, la velocidad de formación de la brecha se puede relacionar con la hidráulica local.

Enrutamiento de embalses. Este componente del modelo determina la condición de frontera aguas arriba, es decir, el nivel aguas arriba y la profundidad del flujo. Esto se logra calculando el ascenso/descenso en el nivel del embalse dentro de un intervalo de tiempo de la siguiente manera:

( Qout - Qin ) Δt ΔH = ________________                    An

(8)

en el cual ΔH = ascenso/descenso del nivel del embalse desde el nivel de tiempo n hasta el nivel de tiempo n + 1; Q₁ = caudal en la sección aguas arriba de la brecha en el nivel de tiempo n; Q₀ = flujo de entrada al embalse en el nivel de tiempo n; Δt = intervalo de tiempo; y A_n = área de la superficie del embalse en el nivel de tiempo n. La Ecuación 8 equivale a una linealización local de la condición de frontera aguas arriba; su precisión depende de su uso con intervalos de tiempo razonablemente pequeños.

La condición de frontera aguas arriba, calculada como se indica en el párrafo anterior, proporciona el mecanismo que permite el desarrollo de la brecha. A medida que aumenta la profundidad del flujo aguas arriba, el caudal y la velocidad también aumentan, lo que conduce a la ampliación de la brecha. El proceso se detiene cuando el embalse se agota hasta el punto en que la profundidad y la velocidad del flujo aguas arriba ya no pueden continuar la acción erosiva.

4.  ESTUDIO DE CASO: PRESA NATURAL HUACCOTO, PERÚ

La represa natural Huaccoto se formó como resultado de un deslizamiento de tierra que ocurrió en el arroyo Cochacay, un afluente del río Mantaro, en el centro de Perú, en abril de 1974. El terraplén creó aguas arriba un enorme embalse, el cual tomó aproximadamente 60 días para llenar. La falla se produjo por desborde, por lo que se desarrolló una brecha y creció progresivamente bajo la acción erosiva de las aguas. El gran volumen de material que rodea el terraplén hizo que esta falla en particular fuera algo inusual. Rodríguez (17) ha declarado que había suficiente material para construir una presa diseñada, la cual hubiera sido aproximadamente tres veces más alta. Primero, la brecha no erosionó a nivel de base, sino que la erosión se detuvo cuando el agua disponible en el embalse fue insuficiente para mantener el crecimiento de la brecha. En segundo lugar, la duración de la falla fue de aproximadamente 48 horas, incluido el desarrollo de la brecha y el vaciado del embalse. Esto contrasta claramente con los tiempos de falla documentados para las presas diseñadas, que generalmente demoran como máximo unas pocas horas (de 2 a 3 horas) en erosionarse hasta llegar a nivel de base. Por supuesto, el espesor de la presa y, por lo tanto, la cantidad de material a erosionar en una presa de ingeniería sería mucho menor que la de la presa Huaccoto.

Las características generales del terraplén y el embalse de Huaccoto son (18): (1) Capacidad del embalse = 665 millones de m³; (2) altura máxima del terraplén = 170 m; (3) longitud lateral del terraplén = 3800 m; (4) elevación aproximada de la cresta = 2630 m.s.n.m; (5) tamaño representativo del material del lecho = 11 mm; y (6) porcentaje de material del tamaño menor que el tamiz 200 = 15%. Estas características y otros datos auxiliares se utilizaron para realizar una simulación retrospectiva de la falla del terraplén de Huaccoto. Se utilizaron once (11) secciones transversales, cada una con una separación de 300 m, y la simulación se llevó a cabo durante 72 horas, utilizando un intervalo de tiempo de 5 min. Los parámetros de fricción del canal, transporte de sedimentos y geometría del canal se ajustaron dentro de límites físicamente realistas.

La Tabla 1 muestra una comparación de las características estimadas versus simuladas. Cabe destacar que los valores estimados no son exactos, considerando las circunstancias bajo las cuales fueron hechas. Los resultados simulados concuerdan razonablemente bien con los valores estimados, lo que demuestra aún más el potencial de esta herramienta de modelado en la evaluación de fallas de terraplenes.

5.  RESUMEN Y CONCLUSIONES

Se ha formulado, desarrollado y probado un modelo de simulación de la falla gradual de un terraplén con datos reales. Una característica importante del modelo es su capacidad para cuantificar el crecimiento de la brecha y el eventual vaciado del embalse detrás del terraplén. Conceptos de enrutamiento de agua y sedimentos se utilizan junto con una descripción de la geometría de canal para llegar a un modelo matemático de la ampliación de la brecha y la onda de inundación resultante. El flujo no permanente de la simulación es una solución numérica implícita de las ecuaciones de Saint Venant, junto con la técnica de enrutamiento secuencial de sedimentos. Este enfoque proporciona una base mayor base racional para determinar los hidrogramas de salida de las roturas de presas de tierra.

El modelo se prueba en la falla del terraplén natural que se formó en abril de 1974 en el río Mantaro en el centro de Perú, como resultado de un deslizamiento de tierra generado por un terremoto. La concordancia entre las características estimadas de inundaciones reales y simuladas es notable, considerando que los detalles físicos incorporados en esta etapa inicial del desarrollo del modelo no están suficientemente claros.

La necesidad de este tipo de análisis está respaldada por hallazgos recientes de un taller patrocinado por la Fundación Nacional para las Ciencias, de los Estados Unidos, que se reunió para delinear las prioridades en la investigación en hidráulica e hidrología. Según el informe del taller (2), las regulaciones gubernamentales ahora exigen que los terraplenes sean analizados contra posibles fallas debido a desbordes. En la actualidad, estas evaluaciones se basan principalmente en los escasos datos disponibles de unas pocas fallas documentadas. Con los modelos matemáticos cada vez más disponibles, existe una tendencia clara hacia el uso de estas formas mejoradas de analizar las fallas graduales de los terraplenes.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen al Dr. José D. Salas, quien proporcionó los datos sobre la falla de la presa de Huaccoto, y a los revisores anónimos del manuscrito por su crítica constructiva.

APÉNDICE I.  BIBLIOGRAFÍA

1. Brown, R. J., and D. C. Rogers. 1980. "A Simulation of the Hydraulic Events During and Following the Teton Dam Failure," Proceedings of the Dam-Break Flood Routing Workshop, Water Resources Council, Oct.

2. "Research Needs: Hydraulics, Coastal Engineering and Irrigation," Civil Engineering, ASCE. 1980. Vol. 52, No. 4, Apr. 83-87.

3. Chang, H. H ., "Geometry of Gravel Streams". 1980. Journal of Hydraulics Division, ASCE, Vol. 106, No. HY9, Proc. Paper 15678, Sept., 1980, 1443-1456.

4. Cristofano, E.A. 1965. "Method of Computing Erosion Rate for Failure of Earthfill Dams," United States Bureau of Reclamation, Denver, Colo., 1965.

5. Dressler, R. F. 1952. "Hydraulic Resistence Effects Upon the Dam-Break Functions," Journal of Research, National Bureau of Standards, Vol. 49, No.3, Washington, D.C. 217-225.

6. Einstein, H. A. 1950. "The Bed-Load Function for Sediment Transportation in Open Channel Flow," Technical Bulletin No. 1026, United States Department of Agriculture Soil Conservation Service, Washington, D.C.

7. Fread, D. L. 1977. "The Development and Testing of a Dam-Break Flood Forecasting Model," Proccedings of the Dam-Break Flood Routing Workshop, Water Resources Council, Oct.

8. Fread, D. L. 1980. "Capabilities of NWS Model to Forecast Flash Floods Caused by Dam Failures," Proceedings of the Second Coference on Flash Floods, American Meteorological Society, Mar.

9. Harris, G. W., and D. A. Wagner, "Outflow from Breached Earth Dams," University of Utah, Salt Lake City, Utah.

10. Johnson, F. A., and P. Illes. 1975. "A Classification of Dam Failures," Water Power and Dam Construction, Dec., 1976, 43-45.

11. Liggett, J. A., and J. A. Cunge. 1975. "Numerical Methods of Solution of the Unsteady Flow Equations," in Unsteady flow in Open Channels, K.Mahmood and V. Yevyevich , eds., Water Resources Publications, Fort Collins, Colo.

12. Meyer-Peter E., and R. Müller. 1948. "Formulas for Bed Load Transport ," Proceedings, Seconde Meeting of the International Association for Hydraulic Research.

13. Newton, D. W., and M. W. Cripe. 1973. "Flood Studies for Safety of TVA Nuclear Plants-Hydrologic Embankment Breaching Analysis," Tennesse Valley Authority, Knoxville, Tenn., Nov.

14. Parker, G. 1979. "Hydraulic Geometry of Active Gravel Beds," Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Vol. 105, No. HY9, Proc. Paper 14841, Sept., 1185-1201.

15. Price, J. T., G. W. Lowe, and J. M. Garrison. 1974. "Hydraulic Transients Generated by Partial and Total Failure of Large Dams," presented at the Aug., ASCE Hydraulics Division Specialty Conference , held at Knoxville, Tenn.

16. Ritter, A. 1892, "The Propagation of Water Waves," Ver Deutsch Ingenieure Zeitschr, Vol. 36, Part 2, No. 33, Berlin , Germany, 947-954.

17. Rodriguez, R . 1974. "Represamiento del Mantaro por el Deslizamiento de Cochacay," Symposium, Colegio de lngenieros del Perú, July.

18. Salas, J. D. 1974. "Modelo Matemático del Proceso de Erosión de la Represa Natural del Mantaro," Symposium , Colegio de Ingenieros del Perú, July.

19. Schoklitsch, A. 1917. "Uber Dammbuchwellen," sitzber. Akad . Wiss. Wien . 126.

20. Su, S., and A. H. Barnes. 1970. "Geometric and Frictional Effects on Sudden Releases," Journal of the Hydraulic Division, ASCE, Vol. 96, No. HY11, Proc. Paper 7650, Nov., 2185-2200.

21. "Floods Resulting from Suddenly Breached Dams-Conditions of Minimum Resistance". 1960. Miscellaneous Paper No. 2-374, Report 1, United States Army Engineer Waterways Experiment Station, Vicksburg, Miss., Feb.

22. "Floods Resulting from Suddenly Breached Dam-Conditions of High Resistence". 1961. Miscellaneous Paper No. 2-374, Report 2, United States Army Engineer Waterways Experiment Station, Vicksburg, Miss., Nov.

23. National Program of Inspection of Dams". 1975. Vol. I-V, United States Army Corps of Engineers, Department of the Army, Office of the Chief of Engineers, Wash., D.C.

24. "Lessons from Dam Incidents-USA". 1975 United States Commitee on Large Dams, ASCE/USCOLD Publication, New York, N .Y .

25. Whitham, G. B . 1955. "The Effect of Hydraulic Resistence on the Dam-Break Problem," Proceedings, Royal Society of London, No. 1170, Jan.