3 - CRITÉRIO DE FROUDE

O número de Froude é:

V F = __________          (g D )1/2

(2)

em que V = velocidade média, D = profundidade hidráulica e g = aceleração gravitacional.

A equação quadrática do atrito causado pelo fluxo em canal aberto é (Ponce, 2014):

τo = ρ f V 2

(3)

em que ρ = densidade de massa de água, e f = fator de atrito, igual a 1/8 do fator de atrito de Darcy-Weisbach f_D.

Substituindo Eqs. 2 e 3 em 1:

f D F 2 ___________________  ≥  τ*c       [ (γs /γ ) - 1 ] ds

(4)

Na maioria dos casos de interesse prático, a razão γ_s /γ é igual a 2,65. Neste caso, o número de Froude para início de movimento é:

1,65 τ*c (ds / D ) F  ≥  { __________________ } 1/2                           f

(5)

Como uma primeira aproximação, a curva Shields sugere um valor crítico aproximadamente constante de tensão de cisalhamento adimensional τ_*c = 0,04, aplicável para uma ampla gama de números de Reynolds (Fig. 1). Portanto, a Eq. 5 reduz para:

0,066 (ds / D ) F  ≥  { ________________ } 1/2                          f

(6)

O fator de atrito varia normalmente na faixa 0,002 ≤ f ≤ 0,005, o que corresponde aos fatores de atrito de Darcy-Weisbach 0,016 ≤ f _D ≤ 0,040. Para ilustrar, assumimos um valor médio f = 0,0035. Portanto, o critério de Froude aplicável é:

F  ≥  4.342 (ds / D )1/2

(7)

Para um determinado diâmetro de partícula, relacionado à profundidade hidráulica, a Eq. 7 indica o número de Froude que deve ser excedido para assegurar o início do movimento. Por exemplo, para d_s = 0,4 mm e profundidade hidráulica D = 1 m, isto é, d_s / D = 0,0004, Eq. 7 reduz para:

F  ≥  0,087

(8)

Combinando Eqs. 2 e 6, a velocidade média relacionada é:

0,066 g ds V  ≥  [ _____________ ] 1/2                       f

(9)

Portanto: V = 0,27 m/s.

4 - APLICAÇÃO COM COEFICIENTE DE MANNING n

A relação entre o fator de atrito f e o coeficiente de Manning n é (Ponce, 2014):

g n 2 f = ___________          k 2 R 1/3

(10)

em que g = aceleração gravitacional, n = coeficiente de Manning, R = raio hidráulico e K = 1 em unidades SI e 1,486 em unidades dos EUA.

Para um canal hidraulicamente largo: R ≅ D. Substituindo a Eq. 10 na Eq. 6, a expressão para o número de Froude nas unidades do SI é:

0,082 D 1/6 (ds / D )1/2 F  ≥  _______________________                           n

(11)

Por exemplo, dado: D = 1 m, d_s = 0,4 mm = 0,0004 m, e n = 0,019:

F  ≥  0,086

(12)

Considerando-se as unidades dos EUA, a expressão para o número de Froude é:

0,067 D 1/6 (ds / D )1/2 F  ≥  ________________________                           n

(13)

onde D e d_s são dados em pés.

Por exemplo, dado: D = 3,28 pés, d_s = 0,4 mm = 0,001312 pés, e n = 0.019:

F  ≥  0,086

(14)

5 - ALGORITMO ITERATIVO

Um cálculo mais preciso do número de Froude e da velocidade média relacionada pode ser obtido usando (Eq. 5) uma tensão de cisalhamento crítica adimensional obtida pela curva Shields real, em vez do valor constante assumido de 0,04. Esse procedimento, no entanto, requer uma iteração. O algoritmo a seguir é sugerido.

Algoritmo usado em ONLINE SHIELDS VELOCITY Assuma um valor de R* Use a Fig. 1 para encontrar τ*c Usando a Eq. 1, calcule τo Use a Eq. 3 para calcular a velocidade de cisalhamento: U* = (τo /ρ)1/2 Calcular o novo valor de R* = (U* ds / ν), no cual ν = viscosidade cinemãtica, função da temperatura. Pare se o novo valor de R* estiver próximo ao assumido na Etapa 1 (dentro de uma tolerância pequena) e use o último valor de τ*c (calculado na Etapa 2) na Eq. 5; Caso contrário, retorne à Etapa 1 e use o novo valor de R* (calculado na Etapa 5) como o valor assumido e continue a iteração.

Exemplo. Considerando-se os seguintes dados de um canal: diâmetro de partícula ds = 0,4 mm, profundidade hidráulica D = 1 m, fator de atrito Darcy-Weisbach adimensional f = 0,0035 e temperatura da água T = 20°C, calcule o número de Froude e a velocidade média relacionada no limiar de início do movimento usando EMLINHA SHIELDS VELOCIDADE.   CALCULO ONLINE. Usando o algoritmo iterativo incorporado em EMLINHA SHIELDS VELOCIDADE, o número de Froude é F = 0,081 e a velocidade média V = 0,25 m/s. Observe que esses resultados são um pouco mais precisos do que os obtidos no cálculo direto aproximado usando Eqs. 6 e 9.

6 - RESUMO

O critério clássico de engenharia de sedimentação é expresso em termos do número de Froude e da velocidade média relacionada necessária para o início do movimento em um canal de leito de areia. Para resolver o problema de forma exata, um algoritmo iterativo é implementado na calculadora EMLINHASHIELDSVELOCIDADE: http://onlinecalc.sdsu.edu/emlinhahieldsvelocidade.php