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La relación de concentración limite reexaminada
Nicole R. Nuccitelli y Victor M. Ponce
21 de julio de 2023
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RESUMEN
Se revisan las formulaciones de las relaciones de contracción limite basadas en la energía y la cantidad de movimiento (Henderson, 1966). La ecuación explícita de Henderson basada en la energía es correcta; sin embargo, la ecuación implícita basada en la cantidad de movimiento es incorrecta. Se deriva una nueva ecuación explícita basada en la cantidad de movimiento, lo que hace innecesaria la formulación implícita. Una calculadora en línea permite el cálculo de la relación de contracción límite para las formulaciones de energía y cantidad de movimiento.
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1. RELACIÓN DE CONTRACCIÓN LÍMITE
La relación de contracción límite σ es la relación entre el ancho de contracción bc y el ancho del canal aguas arriba b1 (σ = bc /b1), o, alternativamente, el ancho del canal aguas abajo, b3 (σ = bc /b3) que produce flujo crítico en la contracción en un canal rectangular. La relación tiene un límite superior σ = 1 cuando el caudal aguas arriba o aguas abajo es crítico.
Según Henderson (1966), la relación σ se puede calcular de dos maneras: (1) usando un balance de energía entre las secciones de contracción crítica y la de aguas arriba, o (2) usando un balance de la cantidad de movimiento entre las secciones de contracción crítica y la de aguas abajo. Henderson ha argumentado que es más probable que el balance de cantidad de movimiento sea correcto porque no depende de una suposición de conservación de energía. Sin embargo, la formulación implícita de Henderson de la relación de contracción límite basada en la cantidad de movimiento parece ser incorrecta. Estas proposiciones se fundamentan en este artículo.
2. ECUACIÓN BASADA EN ENERGÍA
La ecuación de la contracción límite, basada en la energía, se obtiene igualando la energía específica en la sección aguas arriba (Sección 1) con la energía específica en la sección de contracción (Sección c) (Fig. 1):
La energía específica del flujo aguas arriba es la siguiebte:
v12
E1 = y1 + _______
2 g
| (2) |
El número de Froude en la sección aguas arriba se define de la siguiente manera:
v12
F12 = _______
g y1
| (3) |
Por lo tanto, la Ecuación 2 se reduce a lo siguiente:
F12
E1 = y1 [ 1 + ______ ]
2
| (4) |
Por definición, la profundidad crítica es:
F12
yc = (2/3) E1 = (2/3) y1 [ 1 + ______ ]
2
| (5) |
De este modo:
yc F12
_____ = (2/3) [ 1 + ______ ]
y1 2
| (6) |
O alternativamente:
yc
_____ = (1/3) [ 2 + F12 ]
y1 | (7) |
De la ecuación de continuidad:
La relación de contracción límite σ es:
bc v1 y1
σ = _______ = ________
b1 vc yc
| (9) |
O:
v1
σ = _____________
vc
(yc /y1 )
| (10) |
O:
v1
σ = ___________________
(g yc)1/2
(yc /y1 )
| (11) |
O:
v1
σ = ______________________
(g y1)1/2
(yc /y1 )3/2
| (12) |
Reemplazando la Ec. 3 en la Ec. 12:
F1
σ = ______________
(yc /y1 )3/2
| (13) |
Reemplazando la Ec. 7 en la Ec. 13:
F1
σ = ________________________
(1/3)3/2 (2 + F12) 3/2
| (14) |
Simplificando la Ec. 14:
33/2 F1
σ = _________________
(2 + F12) 3/2
| (15) |
La Ecuación 15 es la relación de contracción límite basada en la energía.
Elevando la Ecuación 15 al cuadrado:
33 F12
σ2 = ________________
(2 + F12) 3
| (16) |
La Ecuación 16 es la misma que presentó Henderson para la relación de contracción límite (op. cit., Ec. 7-35, p. 267).
Fig. 1 Gráfico de definición.
3. ECUACIÓN BASADA EN LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La ecuación basada en la cantidad de movimiento se obtiene igualando la fuerza específica en el flujo crítico en la contracción (Sección 2 o Sección c) con la fuerza específica en la sección de flujo aguas abajo (Sección 3).
La fuerza específica en la sección de flujo aguas abajo es:
q32 y32
M3 = _______ + _______
g y3 2 | (18) |
Reemplazando el caudal Q:
Q2 y32
M3 = ___________ + ______
g y3 b32 2 | (19) |
De la ecuación de continuidad:
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Q = v3 y3 b3 = vc yc bc
| (20) |
Reemplazando la Ec. 20 en la Ec. 19:
v32 y32 y32
M3 = __________ + ______
g y3 2 | (21) |
El número de Froude en la sección aguas abajo se define de la siguiente manera:
v32
F32 = _______
g y3
| (22) |
Por lo tanto, la Ec. 21 se reduce a:
1
M3 = y32 ( ____ + F32 )
2 | (23) |
La fuerza específica en la contracción es:
qc2 yc2
Mc = _______ + _______
g yc 2 |
(24) |
Reemplazando el caudal Q:
Q2 yc2
Mc = ___________ + ______
g yc bc2 2 | (25) |
De la ecuación de continuidad:
v32 y32 b32 yc2
Mc = _______________ + ______
g yc bc2 2 | (26) |
O:
v32 y33 b32 yc2
Mc = _______________ + ______
g yc bc2 y3 2 | (27) |
Reemplazando la Ec. 22 en la Ec. 27:
F32 y33 yc2
Mc = ___________ + ______
σ2 yc 2 | (28) |
Por definición, la profundidad crítica es:
q2
yc = ( _____ ) 1/3
g | (29) |
O:
Q2
yc = ( ________ ) 1/3
bc2g | (30) |
De la ecuación de continuidad:
v32 y32 b32
yc = ( _____________ ) 1/3
bc2g | (31) |
O:
v32 y33 b32
yc = ( _____________ ) 1/3
bc2g y3 | (32) |
Reemplazando la Ec. 22 en la Ec. 32:
F32 y33
yc = ( _________ ) 1/3
σ2 | (33) |
Reemplazando la Ec. 33 en la Ec. 28:
F32 y32 σ2/3 F32 y33
Mc = _______________ + (1/2) ( _________ )2/3
σ2 F32/3 σ2 | (34) |
Reduciendo los términos:
F34/3
Mc = (3/2) ( ________ ) y32
σ4/3 | (35) |
Igualando las Ecs. 23 y 35:
1 F34/3
( ___ + F32 ) = (3/2) ( _______ )
2 σ4/3 | (36) |
Reduciendo:
33/4 F3
σ = _____________________
( 1 + 2 F32 ) 3/4 | (37) |
La Ecuación 37 es la formulación explícita de la relación de contracción límite basada en la cantidad de movimiento.
4. FORMULACIÓN IMPLÍCITA BASADA EN LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Para derivar una formulación implícita, la Ec. 36 se expresa de la siguiente manera:
3 F34/3
σ4/3 = _______________
1 + 2 F32 | (38) |
O:
(3/σ) F34/3
σ1/3 = _______________
1 + 2 F32 | (39) |
Reduciendo:
(3/σ)3 F34
σ = _________________
(1 + 2 F32)3 | (40) |
La Ecuación 40 difiere ligeramente de la ecuación de Henderson 7-36, página 267, repetida aquí:
(2 + 1/σ)3 F34
σ = __________________
(1 + 2 F32)3 | (41) |
Por lo tanto, la ecuación implícita de Henderson (1966) para la relación de contracción límite basada en la cantidad de movimiento (Ec. 41) parece estar incorrecta.
5. RESUMEN
Siguiendo a Henderson (1966), se derivan dos ecuaciones explícitas para la relación de contracción límite, la primera basada en el balance de energía y la segunda basada en el balance de la cantidad de movimiento. También se deriva una ecuación implícita basada en la cantidad de movimiento, paralela al tratamiento de Henderson.
La ecuación explícita basada en energía, la cual es la misma que la de Henderson, es:
33/2 F1
σ = _________________
(2 + F12) 3/2
| (15) |
La ecuación explícita basada en la cantidad de movimiento, la cual no ha sido presentada por Henderson, es:
33/4 F3
σ = __________________
(1 + 2 F32) 3/4 | (37) |
Nótese la gran semejanza entre la Ec. 15, basada en la energía, y la Ec. 37, basada en la cantidad de movimiento.
La ecuación implícita basada en la cantidad de movimiento, derivada aquí como la Ec. 40, difiere ligeramente de la de Henderson (Ec. 41), lo que sugiere que esta última está incorrecta.
La calculadora en línea ONLINE_LIMITING_CONTRACTION calcula las relaciones de contracción límite basadas en la energía y la cantidad de movimiento para un par de números de Froude F1 y F3. Además, la calculadora en línea ONLINE_LIMITING_CONTRACTION_SET
calcula el conjunto de relaciones de contracción limite basados en la energía y en la cantidad de movimiento para un rango determinado de números de Froude y un intervalo especificado de números de Froude.
BIBLIOGRAFÍA
Henderson, F. M., 1966. Open channel flow. MacMillan Publishing Co., Inc., New York.
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