Fig. 1   Degradación, hasta alcanzar el basamento rocoso, aguas abajo de una represa de retención de sedimentos, Aguaje de la Tuna, Tijuana, Baja California, México, enero de 1993. LA RELACIÓN DE LANE MODIFICADA Víctor Miguel Ponce Profesor de Ingeniería Civil y Ambiental Universidad Estatal de San Diego San Diego, California, EE.UU. [110821] INTRODUCCIÓN En este trabajo se modifica la relación de Lane (Lane, 1955): Qs ds  ∝  Qw So  (1) en la cual Qs = descarga sólida; Qw = descarga líquida; ds = tamaño medio de las partículas; y So = pendiente del lecho del río o corriente. La nueva relación se expresa como una ecuación adimensional, mediante el reemplazo del tamaño medio de las partículas (ds) por la rugosidad relativa (ds/R)1/3 y la conversión de la descarga líquida Qw a unidades de fuerza. Qs (ds /R )1/3  ∝  γ Qw So  (2) A continuación se detalla la derivación de la relación modificada de Lane. FUNCIÓN DE FRICCIÓN La ley de fricción cuadrática, o ecuación adimensional de Chezy, es (Ponce y Simons, 1977): τo = ρ f v 2 (3) en la cual τo = esfuerzo cortante a nivel del lecho; ρ = densidad del agua; f = coeficiente adimensional de fricción, es cual es igual a 1/8 del coeficiente de Darcy-Weisbach; y v = velocidad media del flujo. En términos de variables hidráulicas, el esfuerzo cortante es (Chow, 1959): τo = γ R So (4) en el cual γ = peso unitario del agua; y R = radio hidráulico. Combinando las ecuaciones 3 y 4: So = f v 2 / (gR) (5) El número de Froude es (Chow, 1959): F = v / (gD)1/2 (6) en el cual D = profundidad hidráulica (tirante hidráulico), D = A /T, en el cual A = área de flujo; T = ancho de la superficie libre, y g = aceleración de la gravedad. Combinando las ecuaciones 5 y 6: So = f (D/R) F 2 (7) En el caso de un canal hidráulicamente ancho: D ≅ R. Por lo tanto: So = f F 2 (8) Esta última ecuación establece la proporcionalidad de la fuerza de gravedad (So) con la fuerza de fricción (f ). FUNCIÓN DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Una función general de transporte de sedimentos es la siguiente (Ponce, 1988): qs = ρ k1 v m (9) en el cual qs = descarga sólida, por unidad de ancho; ρ = densidad del agua; k1 = coeficiente; y m = exponente. De acuerdo a Colby (1964), el exponente m varía en el rango 3 ≤ m ≤ 7. Los valores menores corresponden a descargas sólidas altas y los valores mayores a descargas sólidas bajas. Asúmase que m = 3 como primera aproximación (valores altos de descarga líquida y sólida). En este caso, la descarga sólida es proporcional a la potencia P de la corriente (Stream Power en Inglés), en el que P = τo v, en el cual P (Simons y Richardson, 1966). En este caso, la función de transporte de sedimentos es: qs = ρ k1 v 3 (10) en la cual el coeficiente k1 resulta ser adimensional. La descarga líquida por unidad de ancho es: qw = v d (11) La concentración de sedimentos es: Cs = qs / (γ qw ) (12) Combinando las ecuaciones 10, 11, y 12: Cs = k1 v 2 / (gd ) (13) En un canal hidráulicamente ancho, d ≅ D. Combinando las ecuaciones 6 y 13, la concentración de sedimentos es: Cs = k1 F 2 (14) Combinando las ecuaciones 8 y 14: Cs = k1 (So / f ) (15) La relación entre el coeficiente de fricción f y el coeficiente n de rugosidad de Manning, en unidades SI, es (Chow, 1959): f = g n 2 / R 1/3 (16) En unidades U.S.: f = g n 2 / (1.4862 R 1/3) (17) En general: f = k2 n 2 / R 1/3 (18) En unidades SI: k2 = g = 9.81 (19) En unidades U.S.: k2 = g / (1.486)2 = 14.568 (20) RELACIÓN DE STRICKLER La relación de Strickler entre el coeficiente n de rugosidad de Manning y el tamaño medio de la partícula d50 es (Chow, 1959): n = k3 d501/6 (21) En unidades SI: k3 = 0.04169 (22) con d50 en metros. En unidades U.S.: k3 = 0.0342 (23) con d50 en pies. Asúmase que ds = d50: n = k3 ds1/6 (24) n 2 = k32 ds1/3 (25) Combinando las ecuaciones 18 y 25: f = k2 k32 (ds /R )1/3 (26) CONCENTRACIÓN DE SEDIMENTOS Substituyendo la ecuación 26 en la ecuación 15: Cs = k1 So / [k2 k32 (ds /R )1/3 ] (27) Por lo tanto, la concentración de sedimentos es: Cs = [k1 /(k2 k32 ) ]  [ So / (ds /R )1/3 ] (28) Luego: Qs /(γ Qw ) = [ k1 / (k2 k32 ) ]  [ So / (ds /R )1/3 ] (29) Por lo tanto: Qs ( ds /R )1/3 = [ k1 / (k2 k32 ) ] γ Qw So (30) RELACIÓN DE LANE MODIFICADA De acuerdo a la ecuación 30, la relación de Lane modificada es: Qs (ds /R )1/3  ∝  γ Qw So (31) La ecuación de transporte de sedimentos es: Qs = [k1 / (k2 k32 ) ] γ Qw So (R /ds )1/3 (32) En unidades SI: Qs = [k1 / (9.81 × 0.041692) ] γ Qw So (R /ds )1/3 (33) Qs = 58.7 k1 γ Qw So (R /ds )1/3 (34) En unidades U.S.: Qs = [k1 / (14.568 × 0.03422) ] γ Qw So (R /ds )1/3 (35) Qs = 58.7 k1 γ Qw So (R /ds )1/3 (36) La ecuación 34 es igual a la ecuación 36; por lo tanto, el valor 58.7 y la ecuación de transporte de sedimentos son independientes del sistema de unidades. El parámetro de transporte de sedimentos k1, válido sólo para m = 3 (ecuación 8), es el único a ser determinado experimentalmente. La experiencia demuestra que el valor de este parámetro varía típicamente en el rango 0.005 ≤ k1 ≤ 0.02. APLICACIONES Asúmanse dos casos, uno antes y otro después del desarrollo, con subíndices 1 and 2, respectivamente. Además, se definen: a = Qs2 /Qs1 (37) b = ds2 / ds1 (38) c = R2 / R1 (39) d = Qw2 / Qw1 (40) e = So2 / So1 (41) Usando la relación de Lane modificada (Ecuación 31): a (b/c)1/3 = d e (42) Por lo tanto, la relación de pendientes es: e = (a/d) (b/c)1/3 (43) Ejemplo No. 1 Un tramo de río aguas abajo de una bocatoma con desarenador, con a = 0.99, b = 1, c = 0.95, y d = 0.9, resultará en e = 1.12 (agradación). Ejemplo No. 2 Un tramo de río aguas abajo de una represa de retención de sedimentos, con a = 0.3, b = 1, c = 0.95, y d = 0.9, resultará en e = 0.34 (degradación). En la práctica, esta última puede ser limitada por controles geológicos (acorazamiento, o degradación hasta encontrar el basamento rocoso) (Fig. 1). BIBLIOGRAFÍA Chow, V. T. (1959). Open-channel hydraulics. Mc-Graw-Hill, New York. Colby, B. R. (1964). Discharge of sands and mean velocity relations in sand-bed streams. U.S. Geological Survey Professional Paper No. 462-A, Washington, D.C. Lane, E. W. (1955). The importance of fluvial morphology in hydraulic engineering. Proceedings, American Society of Civil Engineers, No. 745, Julio. Ponce, V. M., y D. B. Simons. (1977). Shallow wave propagation in open channel flow. American Society of Civil Engineers Journal of the Hydraulics Division, Vol. 103, No. HY12, Diciembre. Ponce, V. M. (1988). Ultimate sediment concentration. Proceedings, National Conference on Hydraulic Engineering, Colorado Springs, Colorado, August 8-12, 1988, 311-315. Simons, D. B., y E. V. Richardson. 1966. Resistance to flow in alluvial channels. U.S. Geological Survey Professional Paper 422-J. NOTACIÓN a, b, c, d, e = razón de variables hidráulicas después y antes del desarrollo; C = coeficiente de fricción de Chezy; Cs = concentración de sedimentos; d = tirante o profundidad de agua; D = tirante hidráulico; ds = tamaño de la partícula; d50 = tamaño medio de la partícula; f = coeficiente de fricción, igual a 1/8 del coeficiente de Darcy-Weisbach; F = número de Froude; g = aceleración de la gravedad; k1 = parámetro adimensional de transporte de sedimentos; k2 = parámetro de fricción; k3 = coeficiente en la relación de Strickler; n = coeficiente de rugosidad de Manning; P = potencia de la corriente (Stream Power); qs = descarga sólida, por unidad de ancho; qw = descarga líquida, por unidad de ancho; Qs = descarga sólida; Qw = descarga líquida; R = radio hidráulico; So = pendiente del lecho del río o corriente; v = velocidad media; γ = peso unitario del agua; ρ = densidad del agua; y τo = esfuerzo cortante a nivel del lecho. Fig. 2   Deposición de sedimentos en la cola del reservorio Tinajones, Lambayeque, Perú.