Cornish Fig. 1  Ondas de rollo en el canal Grünnbach en los Alpes suizos, c. 1907.

Las ondas de rollo son una ocurrencia infrecuente en canales revestidos de fuerte pendiente. El siguiente video muestra un tren de ondas de rollo en un canal urbano de fuerte pendiente.

Aquí revisamos la teoría de la inestabilidad de la superficie libre en el flujo en canal abierto. Comenzamos con la celeridad de la onda cinemática (Ponce, 2014a):

ck  =  β u

(1)

en el cual u = velocidad media de flujo, y β = exponente de la relación caudal - área de flujo  (Q = α A ^β ). Por lo tanto, la celeridad relativa de la onda cinemática es:

ck  =  (β - 1) u

(2)

Los dos componentes de la celeridad de la onda dinámica son (Ponce, 2014b):

cd  =  u  ±  (g D )1/2

(3)

en el que D es la profundidad hidráulica:

A D =  _____           T

(4)

en el que A = área de flujo, y T = ancho de la superficie libre.

La celeridad relativa de la onda dinámica es:

cd  =  (g D )1/2

(5)

El número de Vedernikov es la relación entre las celeridades relativas de las onda cinemática y dinámica (Ponce, 1991):

(β - 1) u V  =  ____________             (g D )1/2

(6)

Para V > 1, el flujo se vuelve inestable, lo que lleva a la posibilidad del desarrollo de ondas de rollo. Ponce y Maisner (1993) han demostrado que la condición V > 1 (equivalente al número de Froude F > 2 bajo la fricción de Chezy) es necesaria pero no suficiente; es decir, que puede no conducir siempre a ondas de rollo (ver también Montuori, 1965, p. 26). Ponce y Maisner (op.cit.) mostraron que las perturbaciones de onda se amplificarían dentro de un rango relativamente estrecho de números de onda adimensionales, cerca del pico del incremento logarítmico (Figura 2). Por lo tanto, consideramos que la escala espacial de la perturbación juega un papel importante en la determinación de si se formarán o no las ondas de rollo.

Fig. 2  Incremento logarítmico de onda primaria para números de Froude F > 2 (fricción de Chezy).

El número de Froude se define de la siguiente manera (Chow, 1959):

u F  =  __________           (g D )1/2

(7)

Combinando las Ecs. 6 y 7:

V β - 1  =  _____                 F

(8)

La Ecuación 8 subraya la importancia del exponente β en el flujo de canal abierto. La cantidad ( β - 1) es la relación de números de Vedernikov y Froude. Con estabilidad neutral, es decir, en ausencia de atenuación o amplificación de onda, el número Vedernikov V = 1, y el número Froude se convierte en F = F_ns. Así:

1 β - 1  =  _______                 Fns

(9)

Por lo tanto:

1 Fns  =  ________                β - 1

(10)

En el régimen de flujo turbulento, bajo la fricción de Manning, el rango factible es: 1 ≤ β ≤ 5/3. Esto da lugar a tres formas asintóticas de sección transversal (Ponce y Porras, 1995b; Ponce, 2014):

1. Hidráulicamente ancho, con β = 5/3, para el cual el perímetro mojado P es una constante (Fig. 3), y F_ns = 1.5;

2. Triangular, con β = 4/3, para el cual el ancho de superficie T es proporcional a la profundidad de flujo d (Fig. 4), y F_ns = 3; y

3. Inherentemente estable, con β = 1, para el cual el radio hidráulico R en la subsección superior [la subsección de desbordamiento o avenida] es constante e igual al de la subsección inferior llena (Fig. 5), y F_ns = ∞.

Cabe mencionar que mientras bajo la fricción de Manning, el canal hidráulicamente ancho se vuelve inestable para F > 1.5, y el canal triangular para F > 3, el canal inherentemente estable se vuelve inestable a medida que F ⇒ ∞.

La existencia de un límite inferior para la fricción límite impone un límite superior práctico al número de Froude. Para estimar este límite superior, invocamos la fórmula adimensional de Chezy (Ponce, 2014d):

So  =  f F 2

(11)

en el que S_o = pendiente del canal, y f = factor de fricción adimensional, igual a 1/8 del factor de fricción Darcy-Weisbach f_D. Supongamos una pendiente muy pronunciada (por ejemplo, 45°, es decir, 100%), para lo cual S_o = 1; y el valor más bajo posible del factor de fricción, f = 0.001875, correspondiente a un Darcy-Weisbach f_D = 0.015. Esta suposición lleva a una estimación del valor máximo de número de Froude que se puede lograr en la práctica: F_max = 23 (Chow, 1959).

Se concluye que el canal inherentemente estable nunca alcanzará el número de Froude asintótico F_ns = ∞ que lo caracteriza. Por lo tanto, la construcción de un canal inherentemente estable, para el cual β = 1, proporciona un factor de seguridad irrealísticamente alto con respecto a la formación de ondas de rollo. Esto sugiere la posibilidad de diseñar una sección transversal estable en la práctica, donde el riesgo de ondas de rollo sea despreciable.

Supongamos un valor máximo realista del número de Froude F_max = 25. Usando la Ec. 8, con estabilidad neutra: V = 1; y, por lo tanto, β = 1.04. Se concluye que un canal condicionalmente estable puede diseñarse para un valor β = 1.04, y no parece ser necesario imponer el valor asintótico β = 1 para lograr la estabilidad hidrodinámica. Por lo tanto, un canal diseñado con β = 1.04 debe estar adecuado para permanecer libre de ondas de rollo.

3.  EL CANAL INHERENTEMENTE ESTABLE

Para derivar la ecuación del canal inherentemente estable, la relación general entre el perímetro mojado P y el área de flujo A se postula en la siguiente forma exponencial (Ponce y Porras, 1995d):

P  =  Κ A δ

(12)

de la cual:

A      dP              dP δ  =  ____  _____  =  R  _____                         P      dA              dA

(13)

Para el canal hidráulicamente ancho, el perímetro mojado P es una constante (Sección 2). Por lo tanto, de la Ec. 12: δ = 0, y el perímetro mojado permanece:

P  =  Κo

(14)

y:

dP                  ____  =  0  dA

(15)

Para el canal triangular, tanto el radio hidráulico R como el perímetro mojado P varían con el área de flujo, y el exponente δ tiene el valor central δ = 0.5. De la Ecuación 12, la relación entre el radio hidráulico R, el perímetro mojado P y el área de flujo A es:

P  =  Κ A 0.5

(16)

y:

dP                 P ____  =  0.5  _____  dA                 A

(17)

Para el canal inherentemente estable, el radio hidráulico R es una constante (Sección 2). Por lo tanto, de la Ec. 12: δ = 1, y el perímetro mojado permanece:

P  =  Κo A

(18)

y:

dP          P        ____  =  _____  =  Κo  dA          A

(19)

Para el caso de la fricción de Manning, δ = 0 corresponde a β = 5/3, y δ = 1 corresponde a β = 1 (Sección 2). Por lo tanto, la siguiente relación lineal se cumple:

5          2 β  =  ____  -  ____ δ            3          3

(20)

Multiplicando la Ec. 20 por 3/2 y resolviendo para δ:

5          3 δ  =  ____  -  ____ β            2          2

(21)

Dado un valor elegido del número de Froude neutralmente estable F_ns, la Ec. 9 se puede usar para calcular β y la Ec. 21 para calcular δ. Además, supongamos que el diseño óptimo de canal estable es el asociado con F_ns = 25, para el cual β_o = 1.04, y que el factor de seguridad para este caso se postula como FS_i = 1. Para una opción dada i de F_ns,i, un factor de seguridad se define de la siguiente manera:

βo FSi  =  ____               βi

(22)

4.  DISEÑO DE CANAL ESTABLE

Liggett (1975) derivó la ecuación diferencial del canal inherentemente estable, para el cual δ = 1. Ponce y Porras (1995d) extendieron esta ecuación al canal condicionalmente estable, para el cual δ < 1. La Tabla 1 muestra los valores de β y δ correspondientes a los valores seleccionados de F_ns. El canal condicionalmente estable es estable, es decir, V ≤ 1, siempre que el número de Froude esté restringido a F ≤ F_ns, mientras que el radio hidráulico varía ligeramente con la profundidad de flujo.

Debido a la simetría de la sección transversal, un análisis de la mitad de la sección transversal es apropiado. En lo sucesivo, el asterisco (* ) se usa como subíndice para referirse a los valores mitad de las variables hidráulicas, por ejemplo, T_* = mitad del ancho medio superior.

El diferencial del perímetro mojado de la sección transversal estable es:

dP*  =  [ (dh) 2 + (dT* ) 2 ] 1/2

(23)

en el que dh = diferencial de la profundidad de flujo. Dividiendo por dh, y desde que dA_* = T_* dh  (Ponce, 2014):

dP*                       dT* T*  ______  =  [ 1  +  ( ______ ) 2 ] 1/2         dA*                       dh

(24)

Sustituyendo la Ec. 13 en la Ec. 24:

δ T*                        dT*  ______  =  [ 1  +  ( ______ ) 2 ] 1/2     R                          dh

(25)

El canal inherentemente estable es aquél para el cual δ = 1; por lo tanto, el radio hidráulico es constante e igual a R_o, es decir, Κ_o en la Ec. 18. Operando en la Ec. 25, se obtiene la ecuación diferencial del canal inherentemente estable:

dT*               T*  ______  =  [ ( _____ ) 2   -  1 ] 1/2     dh                Ro

(26)

sujeto a T_* > R_o .

La Ecuación 26 puede resolverse utilizando la siguiente integral indefinida (Spiegel et al., 2013):

dx                ∫  ______________  =  ln [ x + (x 2 - a 2) 1/2 ]      (x 2 - a 2) 1/2

(27)

en el cual x = T_* , y a = R_o .

El diseño de un canal estable requiere que el radio hidráulico se especifique desde el principio. Para lograr este propósito, la sección transversal debe estar compuesta por dos subsecciones:

1. Una subsección inferior, de forma rectangular, trapezoidal o triangular; y

2. Una subsección superior, de forma estable (ver, por ejemplo, Fig. 5).

La subsección inferior, de mitad del ancho del fondo B_* , profundidad h_o y pendiente de lado z: 1 (H: V), define el radio hidráulico R_o:

0.5 (2 B*  +   zho) ho  Ro  =  ________________________                B*  +  ho (1 + z 2)1/2

(28)

Además de definir R_o, la subsección inferior sirve para transmitir los flujos bajos. En la práctica, los flujos de alta velocidad pueden ocurrir a profundidades de flujo relativamente pequeñas. Este hecho debe tenerse en cuenta en el diseño de la subsección inferior.

La Ecuación 26 constituye una familia de secciones transversales de canales inherentemente estables, con el parámetro R_o. Una solución particular, donde T_*o  es el medio ancho superior correspondiente a la profundidad h_o , es:

T*                T*                                   ______  +  [ ( _____ ) 2   -  1 ] 1/2                                      Ro               Ro h  =  ho  + Ro  ln  { _________________________________ }                                     T*o               T*o                                   ______  +  [ ( _____ ) 2   -  1 ] 1/2                                      Ro               Ro

(29)

Para el caso especial de T_*o = R_o , Eq. 29 se reduce a la solución Liggett (1975) para el canal inherentemente estable:

T*                 T*                                       h  =  ho  + Ro  ln  { ______  +  [ ( ______ ) 2   -  1 ] 1/2 }                                   Ro                Ro

(30)

Como la fricción de fondo tiene un límite inferior y no puede reducirse de forma realista a cero, se deduce que hay un límite superior para el número de Froude que se puede lograr en la práctica. En otras palabras, el canal inherentemente estable se volverá inestable cuando el número de Froude F ⇒ ∞; sin embargo, este último no se puede alcanzar en ningún entorno práctico. Por lo tanto, parece que no es necesario diseñar una sección de canal estable con δ = 1.

Alternativamente, una sección de canal con un valor δ < 1 se puede diseñar para permanecer estable, siempre que no se exceda el número de Froude neutralmente estable asociado con este valor de δ . En la práctica, dado que el número máximo de Froude no es probable que exceda de F = 25, puede preverse una sección de canal condicionalmente estable, para la cual δ = 0.94. Los valores de δ correspondientes a los valores seleccionados de F_ns se muestran en la Tabla 1.

La extensión de la Ec. 26 al canal condicionalmente estable, para el cual δ < 1, es:

dT*              δT*  _____  =  [ ( ______ ) 2   -  1 ] 1/2     dh                R

(31)

sujeto a δT_* > R .

A diferencia de la Ec. 26, la Ec. 31 no se puede integrar analíticamente. La forma de la subsección superior T_* = f (δ, R_o, R ) puede obtenerse por integración numérica, dado un valor de δ, que corresponde a una elección de F_ns, y el radio hidráulico R_o corresponde a la profundidad  h_o de la subsección inferior.

La integración numérica procede seleccionando la forma de la subsección inferior (B_*, h_o, y z ) y la profundidad total del canal h_t, para comprender las subsecciones inferior y superior. En la subsección inferior, la profundidad de flujo varía en el rango 0 ≤ h ≤ h_o; en la subsección superior, varía en el rango h_o < h ≤ h_t .

La calculadora EN LÍNEA INHERENTEMENTE ESTABLE ponce.sdsu.edu/onlineinherentlystable.php resuelve el algoritmo recursivo de cálculo del canal inherentemente estable. Los datos de entrada a la calculadora se componen de:

• Datos geométricos e hidráulicos: mitad del ancho inferior B_*, profundidad h_o , pendiente lateral z, profundidad relativa h_u' , pendiente del canal S_o , y coeficiente n de Manning; y

• Número de Froude neutralmente estable F_ns.

Para resolver el canal inherentemente estable, especificar un valor muy alto de número de Froude neutralmente estable, digamos F_ns = 10,000. Para resolver el canal condicionalmente estable, especificar un valor realísticamente alto de número de Froude neutralmente estable, digamos F_ns = 25 (Sección 2).

5.  ANÁLISIS

La Tabla 1 muestra un resumen de los resultados típicos de los cálculos del canal estable. El siguiente conjunto de datos se utilizó para el ejemplo que se muestra en la Tabla 1:

EJEMPLO DE DATOS DE ENTRADA Mitad del ancho inferior B* = 2.5 m Profundidad ho = 1 m Pendiente lateral z = 0 Profundidad relativa hu' = 1 Pendiente del canal So = 0.012 Coeficiente n de Manning = 0.015 Número de Froude neutralmente estable:   Diez (10) valores, variando en el rango:  3 ≤ Fns ≤ 10,000

Para una mayor precisión, el intervalo de profundidad se establece en Δh = 0.0001 m. En este ejemplo, los resultados del cálculo recursivo se imprimen una vez cada 1000 incrementos, es decir, el intervalo de profundidad para la salida es Δh_out = 0.1 m. Como se esperaba, la Tabla 2 muestra que el radio hidráulico para F_ns = 10,000 permanece prácticamente constante e igual a R = 0.714 m en todo el rango indicado de profundidades de flujo en la subsección superior (1 ≤ h ≤ 2).

El examen de la Tabla 1, complementado con resultados obtenidos usando EN LÍNEA INHERENTEMENTE ESTABLE lleva a las siguientes conclusiones:

1. Para h > h_o, cuanto menor sea la elección de F_ns, menor será el ancho superior estable resultante.

2. Para h > h_o, cuanto más grande sea la elección de R_o, menor será el ancho superior estable resultante.

3. Dado F_ns, cuanto más grande sea la elección de R_o, más estrecha (o angosta) será la sección del canal estable resultante.

4. Dado R_o, cuanto menor sea la elección de F_ns, más estrecha será la sección del canal estable resultante.

Estos resultados confirman y amplían las conclusiones de Ponce y Porras (1995e).

Fig. 6  Secciones transversales de canal estable en función del número de Froude neutralmente estable F_ns y radio hidráulico R_o:
(a) h_o = 0.5 m, R_o = 0.417 m; (b) h_o = 0.75 m, R_o = 0.577 m; and (c) h_o = 1.0 m, R_o = 0.714 m
(redibujado de Ponce and Porras, 1995e).

Una comparación de los canales inherentemente estables o condicionalmente estables con un canal rectangular del mismo ancho de fondo, pendiente del canal y rugosidad del límite, muestra que para ambos canales es probable que la descarga y el número de Froude varíen gradualmente con la profundidad, y que estos últimos aumenten o disminuyan, dependiendo de las condiciones de flujo. La teoría, sin embargo, predice que mientras que el canal inherentemente estable siempre permanecerá estable, y el canal condicionalmente estable probablemente permanecerá estable a través de un rango práctico de números de Froude, el canal rectangular puede eventualmente desarrollar ondas de rollo.

6.  CONCLUSIONES

Los canales inherentemente estable y condicionalmente estable se revisan, elucidan y se calculan con la aplicación en línea. El número de Froude asintótico neutralmente estable para el canal inherentemente estable es F_ns ⇒ ∞. Teóricamente, dicho canal se volverá neutralmente estable cuando el número de Froude llegue al infinito. Dado que este último es una imposibilidad física, este requisito garantiza efectivamente que el canal inherentemente estable siempre permanecerá muy por debajo del umbral de inestabilidad, independientemente del caudal, eliminando así por completo la posibilidad de formación de ondas de rollo.

El canal inherentemente estable nunca alcanzará el valor de Froude número F_ns = ∞ que lo caracteriza. Por lo tanto, la construcción de un canal inherentemente estable, es decir, aquél para el cual los exponentes β = 1 y δ = 1, proporciona un factor de seguridad irrealísticamente alto con respecto a la formación de ondas de rollo. Esto sugiere la posibilidad de diseñar alternativamente una forma de sección transversal condicionalmente estable, para un número de Froude convenientemente alto pero realista, tal como F_ns = 25, que corresponde a β = 1.04 y δ = 0.94, para lo cual el riesgo de ondas de rollo sería despreciable.

Los resultados de este estudio conducen a las siguientes conclusiones:

• Para h > h_o, cuanto menor sea la elección de F_ns, menor será el ancho superior estable resultante.

• Para h > h_o, cuanto más grande sea la elección de R_o, menor será el ancho superior estable resultante.

• Dado F_ns, cuanto más grande sea la elección de R_o, más estrecha (angosta) será la sección del canal estable resultante.

• Dado R_o, cuanto menor sea la elección de F_ns, más estrecha será la sección del canal estable resultante.

Un ejemplo de diseño muestra que el canal condicionalmente estable con F_ns = 25 es aproximadamente un 27% más estrecho que el canal inherentemente estable.

REFERENCIAS

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