1.  INTRODUCCIÓN

El desarrollo de ondas de rollo (u ondas pulsantes) en el flujo de un canal abierto continúa atrayendo el interés tanto de investigadores como de ingenieros profesionales. En 1907, Cornish mostró por primera vez una fotografía de este fascinante fenómeno en un artículo publicado en el Journal of the Royal Geographical Society (Fig. 1) (Cornish, 1907). Cinco décadas después, en el Capítulo 8 de su reconocido libro de texto, Ven Te Chow se refirió al fenómeno como la "inestabilidad del flujo uniforme", dando a entender que bajo determinadas condiciones, el flujo podría volverse inestable y romper en un tren de ondas (Chow, 1959). En la Fig. 2 se muestra una fotografía contemporánea del fenómeno de las ondas de rollo.

Cornish

Fig. 1  Fotografia temprana de un tren de ondas de rollo en los Alpes suizos (1907).

Una onda de rollo es un fenómeno inusual y a menudo fascinante, a ser admirado por aquéllos que tienen la suerte de observarlo. Sin embargo, en ciertas circunstancias, puede resultar inquietante e inclusive peligroso. Por lo tanto, es imperativo que los ingenieros hidráulicos conozcan los principios que rigen la formación y propagación de las ondas de rollo, de modo que el diseño pueda tender a minimizar los posibles impactos negativos.

En este artículo enfocamos el estudio de caso de algunos tributarios del río La Paz, en La Paz, Bolivia, en el cual se ha documentado la recurrencia de ondas de rollo con una frecuencia preocupante. Localmente, estas ondas de rollo, a menudo de gran tamaño, se denominan ondas pulsantes. La Paz, una ciudad de aproximadamente 800.000 habitantes y sede del Estado Plurinacional de Bolivia, presenta un entorno geomorfológico peculiar: Está construida casi en su totalidad dentro de una inmensa cárcava, con varios arroyos de pendiente muy pronunciada que drenan su extremo sur-oriental hacia el centro de la ciudad (Fig. 3).

En los últimos 30 años, el desarrollo urbano intensivo ha traído como consecuencia la canalización de varios de los principales arroyos tributarios con canales revestidos de mampostería, destinados a transportar las aguas de avenida de la manera más eficiente. Sin embargo, tal como se construyeron, los canales de drenaje han modificado la sección transversal de los arroyos de modo que los eventos de olas de rollo ahora son recurrentes (2019 a 2024), en lugares donde no existían antes de la canalización. Con la amenaza del calentamiento global en ciernes, es probable que la intensidad y frecuencia de estos eventos aumenten con el tiempo, lo que requiere un renovado y más decidido enfoque para su mejor control.

A modo de ilustración, aqui mostramos dos videos tomados en La Paz en los últimos años. El primero muestra un evento de onda de rollo en el río Achumani, afluente del río La Paz (Fig. 4). Este evento ocurrió en el año 2014. El video permite estimar el período de la onda en 19 segundos.

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Cortesía de J. Molina

Fig. 4  El río canalizado Achumani, La Paz, Bolivia (2014).

En el segundo video se observa una onda de rollo en el río Huayñajahuira, otro afluente del río La Paz, ocurrido el 24 de febrero de 2016. En este caso, se observa que el flujo pulsante es lo suficientemente grande como para saltar por encima de los bordes (límites) del canal, constituyendo así un peligro para la seguridad pública (Fig. 5). En la actualidad (2019 a 2024), este tipo de eventos siguen repitiéndose en estos dos ríos canalizados, lo cual clama por una solución al problema.

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Cortesia de J. Molina

Fig. 5  Evento de ondas de rollo en el río canalizado Huayñajahuira, La Paz, Bolivia (2016).

En este artículo se revisan los antecedentes históricos y se examina la teoría, experiencia y posibles soluciones para controlar, atenuar y/o manejar las ondas de rollo de manera que la sociedad tenga la seguridad de que en el futuro no vayan a causar daños personales y/o materiales.

2.  PERSPECTIVA HISTÓRICA

En 1945, V. V. Vedernikov presentó, en idioma ruso, un análisis matemático exhaustivo de las ondas de rollo (Vedernikov, 1945; 1946). Casi al mismo tiempo Craya publicó un artículo sobre la inestabilidad del flujo en la revista francesa La Houille Blanche (Craya, 1945). Sin embargo, el trabajo definitivo de Craya sobre el tema de la inestabilidad del flujo se publicó sólo siete años después (Craya, 1952).

En un artículo publicado en Transactions of the American Geophysical Union, Ralph W. Powell bautizó el criterio de Vedernikov como el número de Vedernikov (Powell, 1948). Más adelante, Ven Te Chow confirmó la existencia del fenómeno en su reconocido libro de texto (Chow, 1959).

Craya aclaró el criterio de Vedernikov interpretándolo como el umbral en el que la celeridad de la onda cinemática es igual a la de la onda dinámica. Ya en 1900, Seddon, trabajando en el Río Bajo Misisipi, había derivado la expresión para la celeridad de la onda cinemática, es decir, una onda gobernada únicamente por la fricción y la gravedad (Seddon, 1900). Más tarde, Lighthill y Whitham (1955) delinearon los fundamentos teóricos de la onda cinemática, destacando su aplicación a la propagación de ondas de inundación.

A diferencia de una onda cinemática, la onda dinámica de la mecánica de fluidos clásica, la cual se propaga con la celeridad de Lagrange, es una onda gobernada únicamente por la inercia y el gradiente de presiones (Lagrange, 1788). Se observa que la celeridad relativa de la onda dinámica (de Lagrange) es el denominador del reconocido número de Froude (Ponce, 2014: Capítulo 1).

Ponce (1991) ha presentado un tratamiento teórico unificado de los números de Froude y Vedernikov, demostrando que son esencialmente independientes. El análisis siguió el trabajo seminal previo de Ponce y Simons (1977), el cual sentó las bases para el tratamiento del flujo inestable en canal abierto a lo largo del espectro adimensional de números de onda. Ponce confirmó el hallazgo anterior de Craya con respecto al umbral de inestabilidad del flujo, es decir, cuando las ondas de masa de Seddon (es decir, las ondas cinemáticas) superan las ondas de energía de Lagrange (las ondas dinámicas). Este umbral se produce cuando la celeridad de la onda cinemática es igual o superior a la celeridad de la onda dinámica, es decir, cuando el número de Vedernikov V ≥ 1. Por lo tanto, la naturaleza de las ondas de rollo está intrínsecamente ligada al concepto del número de Vedernikov.

3.  EL NÚMERO DE VEDERNIKOV

Ponce (1991) y más recientemente, Ponce (2014) han identificado tres velocidades de interés en el flujo en canal abierto:

1. La velocidad u del flujo permanente, calculable mediante una fórmula como la de Manning o Chezy;

2. La celeridad relativa v de la onda cinemática, definida como v = c_k - u, en la cual c_k es la celeridad de la onda cinemática; y

3. La celeridad relativa w de la onda dinámica, definida como w = c_d - u, en la cual c_d es la celeridad de la onda dinámica.

Se definen las siguientes variables:

Definición de variables Caudal:  Q Área de flujo:  A Velocidad media:  u = Q / A Perímetro mojado:  P Ancho superior:  T Radio hidráulico:   R = A /P Profundidad hidráulica:   D = A /T Curva de gasto caudal-area:  Q = α A β Aceleración gravitacional:  g Celeridad de la onda cinemática (Ponce, 2014: Capítulo 1):  ck = β u Celeridad relativa de la onda cinemática:  v = ck - u  =  (β - 1) u Celeridad relativa adimensional de la onda cinemática:  v / u = β - 1 Celeridad de la onda dinámica (Ponce, 2014: Capítulo 1):  cd = u  ±  (gD)1/2 Celeridad relativa de la onda dinámica:  w = cd - u  =  (gD)1/2 Celeridad relativa adimensional de la onda dinámica:  w / u = (gD)1/2 / u  =  1 / F Número de Froude:  F = u / w  =  u / (gD)1/2 Número de Vedernikov:  V = v / w  =  (β - 1) u / (gD)1/2

Por lo tanto, solamente hay tres velocidades características en el presente análisis: u, v, y w. El número de Froude es la relación entre la primera y la tercera:  F  =  u /w; el número de Vedernikov es la relación entre la segunda y la tercera:  V  =  v /w.

Se observa claramente que los números de Froude y Vedernikov son independentes; las tres velocidades dan lugar a sólo dos números adimensionales independientes, los números de Froude y Vedernikov. La tercera relación es la celeridad relativa adimensional de la onda cinemática v /u  =  β - 1  =  V / F. Por lo tanto, el exponente de la curva de gasto β comprende tanto V como F. Se concluye lo siguiente:

β  =  1 + (V / F )

(1)

Así, la curva de gasto caudal-area puede expresarse en términos de los números de Froude y Vedernikov como sigue:

Q = α A 1 + (V / F )

(2)

En resumen, el número de Froude es la relación entre la velocidad del flujo y la celeridad relativa de la onda dinámica. Para F < 1, prevalecen condiciones de flujo subcrítico y las perturbaciones superficiales pueden trasladarse aguas arriba, lo que hace posible el control aguas abajo. Para F > 1, prevalecen condiciones de flujo supercrítico y las perturbaciones superficiales no pueden trasladarse aguas arriba; por lo tanto, el flujo podría controlarse sólo desde aguas arriba. El criterio de Froude es estrictamente aplicable al flujo uniforme, aunque en la práctica su uso se ha extendido a otras condiciones de flujo.

El número de Vedernikov es la relación entre la celeridad relativa de la onda cinemática y la celeridad relativa de la onda dinámica. Por lo tanto, el criterio de Vedernikov es estrictamente aplicable al flujo no permanente. Para V < 1, las ondas dinámicas viajan más rápido que las ondas cinemáticas y, en consecuencia, el flujo es estable, es decir, libre de ondas de rollo. Por el contrario, para V > 1, las ondas cinemáticas viajan más rápido que las ondas dinámicas y, en consecuencia, el flujo es inestable, es decir, propicio al desarrollo de ondas de rollo. Sin embargo, el que las ondas de rollo ocurran o no dependerá de la condición en el contorno (véase la Sección 5). Por lo tanto, se considera que el criterio de Vedernikov es necesario, pero no suficiente, para la aparición de ondas de rollo.

Los roles de la masa y la energía son fundamentales para el análisis de las ondas de rollo. Está bien establecido que, mientras que las ondas cinemáticas transportan masa, las ondas dinámicas transportan energía (Lighthill y Whitham, 1955). Por lo tanto, se observa que la aparición de ondas de rollo ocurre cuando el transporte no permanente de masa supera al transporte no permanente de energía. En este sentido, las ondas de rollo son una manifestación física de la preponderancia del transporte de masa sobre el transporte de energía en el flujo no permanente en canales abiertos.

4.  EFECTO DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL

El número de Vedernikov es:

V  =  (β - 1) u / (gD)1/2

(3)

Si bien los ingenieros hidráulicos están muy familiarizados con el número de Froude, no se puede decir lo mismo del número de Vedernikov, que continúa siendo dejado de lado en la práctica de la ingeniería hidráulica (Ponce, 2002). Para centrarnos en el número de Froude, más conocido, el número de Vedernikov se puede expresar de la siguiente manera:

V = (β - 1) F

(4)

La Ecuación 4 muestra que el número de Vedernikov y la inestabilidad del flujo relacionada están determinados por el producto de (β - 1) por el número de Froude F. En la práctica, el número de Froude no varía en un amplio rango; por lo tanto, (β - 1) es el factor determinante en la inestabilidad del flujo.

Según la teoría, la estabilidad neutra, es decir, el umbral de inestabilidad de flujo, corresponde a V = 1. De la Ecuación 4, el número de Froude para la estabilidad neutra es:

Fns  =  1 / (β - 1)

(5)

Para desentrañar el significado físico de la inestabilidad del flujo, es necesario examinar la verdadera naturaleza de β, el exponente de la curva de gasto caudal-área (Q - A). Básicamente, β es la relación entre la celeridad de la onda cinemática c_k y la velocidad media del flujo u. En otras palabras, β es el factor por el cual se multiplica la velocidad media del flujo para obtener la celeridad de la onda cinemática. Para β ≡ 1, la celeridad de la onda cinemática es igual a la velocidad media del flujo, lo que arresta (impide) la inestabilidad del flujo.

El valor de β es una función del tipo de fricción de fondo y de la forma de la sección transversal. En la práctica, la fricción de fondo puede ser:

1. Laminar;

2. Mixta laminar-turbulenta; or

3. Turbulenta.

El flujo turbulento puede expresarse en términos de las ecuaciones de Manning o de Chezy.

La forma de la sección transversal puede variar ampliamente y, con ella, el valor de β. Existen tres formas asintóticas de sección transversal, en términos de los valores aplicables de β (Ponce, 2014: Capítulo 1):

1. Hidráulicamente ancho, con perímetro mojado constante P;

2. Triangular, en el cual el ancho de superficie T es proporcional a la profundidad de flujo d;

3. Inherentemente estable, de radio hidráulico constante R (Ponce y Porras, 1995).

La Tabla 1 muestra los valores de β correspondientes a combinaciones seleccionadas de fricción de fondo y forma de la sección transversal. Siguiendo la Ec. 5, los valores del número de Froude neutralmente estable F_ns se muestran en la última columna. El rango práctico de valores de β mostrados es: 1 ≤ β ≤ 3, en el cual el valor más alto (β = 3) corresponde al flujo laminar (hidráulicamente ancho) (es decir, flujo superficial en un plano) y el valor más bajo (β = 1) a la forma de la sección transversal inherentemente estable. Se atribuye a Liggett (1975) el mérito de haber sido pionero en la teoría del canal estable.

5.  PROPAGACIÓN DE ONDAS EN CANALES

La condición necesaria y suficiente para la formación de ondas de rollo puede analizarse utilizando la teoría de propagación de ondas poco profundas de Ponce y Simons (1977). Estos autores aplicaron el método de estabilidad lineal al conjunto de ecuaciones que gobiernan el flujo no permanente en canales abiertos, comúnmente conocidas como ecuaciones de San Venant. El análisis condujo a funciones de celeridad y atenuación de varios tipos de ondas en aguas poco profundas, incluidas las cinemáticas, de difusión, cinemáticas-difusión mixtas y dinámicas (Ponce, 2014: Capítulo 10). Los hallazgos se resumen en las Figs. 6 a 8.

La Figura 6 muestra valores de celeridad de onda relativa adimensional c_r* (ordenadas) en un amplio rango de números de onda adimensionales σ_* (abscisas). Esta figura muestra que c_r* ⇒ 0.5 cuando σ_* ⇒ 0 en el rango cinemático (a la izquierda); Por el contrario, c_r* ⇒ (1/ F) cuando en el rango dinámico (hacia la derecha). Como era de esperar, para valores de rango medio de números de onda adimensionales, se muestra que c_r* varía fuertemente con el número de onda, siendo la variación cada vez más marcada a medida que disminuye el número de Froude. Admirablemente, la Fig. 6 confirma la validez de la fórmula de Seddon hacia la izquierda del gráfico, y de la fórmula de Lagrange hacia la derecha.

La Figura 6 también muestra que para F = 2, c_r* es constante e igual a 0,5, lo cual corresponde al valor del número de Froude neutralmente estable (V = 1) para un canal hidráulicamente ancho con fricción de Chezy (Tabla 1). Por lo tanto, para F = 2, todas los tamaños de onda viajan con la misma celeridad, lo que confirma ampliamente la validez de la teoría de Vedernikov.

La atenuación o amplificación de las ondas se produce cuando el valor de c_r* varía a lo largo del espectro de números de onda adimensionales. Se puede demostrar que ni las ondas de Seddon (cinemáticas) ni las ondas de Lagrange (dinámicas) están sujetas a (ninguna cantidad de) atenuación o amplificación. La Figura 6 describe la atenuación de onda para F < 2 (es decir, para un gradiente c_r* positivo) y la amplificación de onda para F > 2 (para un gradiente c_r* negativo), lo que confirma la teoría de Vedernikov.

La Figura 7 muestra los valores del decremento logarítmico δ (en las ordenadas) a lo largo de un amplio rango de números de onda adimensionales σ_* (abscisas), para números de Froude en el rango 0,01 ≤ F ≤ 1,5. [El valor F = 2 tiene atenuación cero; por lo tanto, no se pudo representar gráficamente en la escala logarítmica]. En correspondencia directa con la Fig. 6, en la Fig. 7 se muestra que la atenuación de onda es más marcada a medida que el número de Froude disminuye a F = 0,01. Como era de esperar, se observa que la atenuación máxima coincide con el punto de inflexión en las curvas c_r* vs. σ_* de la Fig. 6. Se confirma que la atenuación de la onda disminuye hacia cualquier extremo del espectro, con δ ⇒ 0 tanto para σ_* ≤ 0,001 (ondas cinemáticas) como para σ_* ≥ 1000 (ondas dinámicas).

La Figura 8 muestra valores de incremento logarítmico +δ (ordenadas) (es decir, amplificación de onda) a través de un amplio rango de números de onda adimensionales σ_* (abscisas), para números de Froude en el rango F = 3 a F = 10. En correspondencia directa con la Figura 6, se muestra que la amplificación de onda es algo más marcada a medida que el número de Froude aumenta de F = 3 a F = 10. Como era de esperar, se ve que la atenuación máxima coincide con el punto de inflexión en las curvas c_r* vs. σ_* de la Figura 6. Se confirma que la amplificación de onda disminuye hacia cualquier extremo del espectro de números de onda, con +δ ⇒ 0 tanto para σ_* ≤ 0.001 (ondas cinemáticas) como para σ_* ≥ 1000 (ondas dinámicas).

El análisis anterior confirma que la amplificación de las ondas se producirá para números de Froude F > 2, lo que corresponde al número de Vedernikov V > 1 para el caso de fricción de Chezy en un canal hidráulicamente ancho. Como se muestra en la Tabla 1, para el caso de fricción de Manning, la condición V > 1 corresponde a F > 1,5. En la práctica, la inestabilidad del flujo, correspondiente a un valor positivo de δ, puede comenzar a producirse con números de Froude tan bajos como 1,5 (bajo fricción de Manning).

La experiencia práctica sugiere que el criterio de Vedernikov (V ≥ 1) es necesario pero no suficiente para la aparición de ondas de rollo. Las ondas de rollo no ocurren todo el tiempo en canales empinados en cuanto se cumpla el criterio de inestabilidad. De hecho, se observa que las ondas de rollo son una ocurrencia inusual.

En resumen, la teoría de propagación de ondas poco profundas de Ponce y Simons (1977) confirma la teoría de Vedernikov. Lo más significativo es que, para los números de Froude en el régimen inestable, el valor del incremento logarítmico δ (consultar la Figura 8) no es constante, y alcanza su pico en el punto de inflexión de la función adimensional de celeridad relativa vs. número de onda (consultar la Fig. 6). Este hecho establece claramente un rango preferencial de números de onda adimensionales para la amplificación de perturbaciones de flujo en canal abierto y el consecuente desarrollo de las ondas de rollo.

6.  VERIFICACIÓN EXPERIMENTAL

La Figura 8 muestra el rango de números de onda adimensionales para el cual es probable que la amplificación de onda sea más fuerte. De hecho, hay un valor de σ_* para el cual el incremento logarítmico +δ es máximo. La Figura 8 muestra que para F = 4 (la curva roja), +δ_peak = 0,5 corresponde a σ_*@peak = 0,22.

En la Fig. 6, la amplificación de la onda está asegurada por la naturaleza de la variación de la celeridad de onda relativa adimensional para F > 2. En la Fig. 6, para F = 4, la amplificación pico de onda ocurre en el punto de inflexión de la curva roja, para el cual σ_*@inflexion = 0,22. Nótese que este valor es igual a σ_*@pico = 0,22 de la Fig. 8. Por lo tanto, se confirma la existencia de un rango preferencial de números de onda adimensionales para la amplificacion de ondas durante la propagación.

Para verificar la teoría, Ponce y Maisner (1993) utilizaron los datos medidos y publicados por Brock, desarrollados en el Instituto Tecnológico de California. Brock (1967) midió las profundidades de cresta y los períodos de las olas en una amplia gama de condiciones de flujo. Ponce y Maisner compararon los números de onda adimensionales experimentales, calculados a partir de los períodos de las ondas medidos por Brock, con los números de onda adimensionales predichos por la teoría. Nótese que la teoría correcta mostraría que los datos de laboratorio se grafican en el pico o cerca del mismo de las curvas mostradas en la Fig. 8.

Los resultados de la comparación se muestran en la Figs. 9 (a) y 9 (b). Se observa que los datos de Brock concuerdan razonablemente bien con la teoría. Se muestra que todos los datos medidos se aproximan a los picos de las curvas de incremento logarítmico teórico vs. número de onda adimensional. Por lo tanto, el componente de ondas de rollo de la teoría de propagación de ondas poco profundas ha sido verificado experimentalmente.

7.  DIFUSIÓN VS. AMPLIFICACIÓN DE LAS ONDAS

Las ondas de rollo, las cuales se producen en condiciones de flujo no permanente, son una de las manifestaciones del flujo inestable en canales abiertos (V > 1). Las otras son las ondas cinemáticas y las ondas dinámicas, las cuales se producen en condiciones de flujo estable (V < 1). En condiciones de flujo inestable, las ondas se producen en un canal abierto por la acción de las condiciones de contorno y otras irregularidades del flujo. Una vez en el canal, las distintas escalas (tamaños) de las ondas: (a) se atenúan, (b) mantienen su nivel, o (c) se amplifican. La teoría confirma que las ondas: (a) se atenúan para V < 1; (b) mantienen su nivel para V = 1; y (c) se amplifican para V > 1 (Sección 3).

El criterio de Vedernikov V = 1 es un criterio absoluto y, por lo tanto, independiente del tipo de fricción o de la forma de la sección transversal. Puede expresarse alternativamente como F_ns, es decir, el número de Froude correspondiente a V = 1 (Sección 4). La Tabla 1 muestra que F_ns varía con el tipo de fricción y la forma de la sección transversal. Por ejemplo, F_ns = 2 para la fricción de Chezy en un canal hidráulicamente ancho, F_ns = 4 para la fricción de Chezy en un canal triangular, y F_ns = ∞ para un canal inherentemente estable, siendo este último independientemente del tipo de fricción. Se observa que F_ns aumenta con la disminución de β a medida que la forma de la sección transversal se aleja de ser hidráulicamente ancha; en el límite, para β ⇒ 1, F_ns ⇒ ∞.

La difusión o amplificación de una onda dependerá de: (1) el efecto de la fricción de fondo (de borde), y (2) el efecto de la forma de la sección transversal. Para V < 1, todas las ondas se atenuarán. La intensidad de la atenuación dependerá del número de Froude (del flujo uniforme) y del número de onda adimensional de la perturbación; los números de Froude más bajos experimentan una atenuación notablemente mayor (Fig. 7). La atenuación de las ondas alcanza su punto máximo cerca del rango medio (y a la derecha del rango medio) de los números de onda adimensionales.

Para V > 1, todas las ondas se amplificarán. La intensidad de la amplificación dependerá del número de Froude y del número de onda adimensional de la perturbación; los números de Froude más altos experimentarán una amplificación algo mayor (Fig. 8). La amplificación de las ondas alcanza su punto máximo cerca del rango medio (y a la izquierda del rango medio) de los números de onda adimensionales.

La fuerza de la difusión o amplificación de la onda está relacionada con la tasa de variación de la celeridad relativa adimensional de la onda con el número de onda adimensional (Fig. 6). En el régimen estable (V < 1), esta tasa de variación aumenta notablemente a medida que disminuye el número de Froude, aumentando la tasa de atenuación (Fig. 7). Por el contrario, en el régimen inestable (V > 1), la tasa de variación aumenta levemente a medida que aumenta el número de Froude, aumentando levemente la tasa de amplificación (Fig. 8).

El exponente de la curva de gasto β condiciona y produce atenuación o amplificación en cualquier escala del espectro de números adimensionales de onda. Los valores de β ⇒ 5/3 para la fricción de Manning (y β ⇒ 3/2 para Chezy) conducen a la amplificación de la onda. Esto se debe a que el transporte de la onda es no lineal; por lo tanto, los picos de onda viajan más rápido que el flujo medio, con las caras de la onda preparadas para empinarse y eventualmente romperse. Por el contrario, los valores de β ⇒ 1 (es decir, acercándose a 1) conducen a la atenuación de la onda, vale decir, a la difusión, porque los picos de onda viajan casi con la misma velocidad que la del flujo medio y, por lo tanto, están condicionados a no empinarse (Ponce y Windingland, 1985).

En conclusión, la atención a β (en la etapa de diseño) es una forma clara y segura de controlar la amplificación del flujo y, por lo tanto, evitar la inestabilidad. Un canal hidráulicamente ancho presenta β ⇒ 5/3 para la fricción de Manning (y β ⇒ para Chezy); por lo tanto, no es preeminentemente propicio para la difusión de las ondas. Además, una sección transversal de canal rectangular es la más cercana a ser hidráulicamente ancha, con valores típicos de β en el rango de 3/2 a 5/3. Por lo tanto, una sección transversal rectangular tampoco es propicia para la difusión de las ondas. Los valores de β ≤ 4/3 para Manning (o β ≤ 5/2 para Chezy) son más propicios para la difusión de las ondas, ya que aumentan el valor de F_ns por encima de 3 o 4 (Tabla 1), desalentando así la inestabilidad del flujo.

8.  CÁLCULO DE β

Se ha demostrado que β, el exponente de la curva de gasto caudal-area, una característica de la forma de la sección transversal, determina en gran medida si el flujo puede volverse inestable o no. Un valor de β = 5/3, correspondiente a un canal hidráulicamente ancho (Manning), lleva más fácilmente a la inestabilidad del flujo. A medida que β disminuye a 4/3, es decir, para un canal triangular (Manning), se requiere un número de Froude mayor para producir inestabilidad del flujo, lo que en efecto desalienta esta última. Conforme β ⇒ 1, la inestabilidad del flujo ya no ocurre. Por lo tanto, es imperativo que los canales empinados (bajo flujo supercrítico) se diseñen prestando la debida atención a β.

La calculadora canalenlinea15b calcula β para un canal prismático de sección transversal trapezoidal, rectangular o triangular (Fig. 10). Se requiere la siguiente entrada:

Para demostrar el funcionamiento de la calculadora en línea, se consideran dos ejemplos: (1) una sección transversal rectangular, y (2) una sección transversal trapezoidal; para que pase un caudal de Q = 50 m³/s. En el Ejemplo No, 1, se supone que b = 5,8 m, y = 1,066 m, z₁ = 0, z₂ = 0, n = 0,025, y S = 0,057. El resultado de canalenlinea15b se muestra en la Fig. 11.

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Fig. 11  Resultado de canalenlinea15b para el Ejemplo No. 1.

Los resultados son: Q = 50 m³/s; v = 8,088 m/s; F = 2,50; β = 1,60; F_ns = 1,64, y V = 1,51. Siendo V > 1, se concluye que esta condición de flujo puede provocar inestabilidad del flujo. Nótese que para esta sección transversal rectangular, β = 1,60 está cerca del límite superior del rango factible (1 ≤ β ≤ 5/3).

En el Ejemplo No. 2, se asume: b = 1,2 m, y = 2,3903 m, z₁ = 0,5, z₂ = 0,5, n = 0,025, and S = 0,057. El resultado de canalenlinea15b se muestra en la Fig. 12.

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Fig. 12  Resultado de canalenlinea15b para el Ejemplo No. 2.

Los resultados son: Q = 50 m³/s; v = 8,734 m/s; F = 2,20; β = 1,4; F_ns = 2,49, y V = 0,88. Siendo V < 1, se concluye que esta condición de flujo no llevará a inestabilidad del flujo. En este caso, la sección transversal es trapezoidal, y β = 1.4 está cerca de un valor central dentro del rango factible (1 ≤ β ≤ 5/3).

Cabe señalar que la elección de la forma de la sección transversal y las dimensiones del canal con el objetivo de reducir β debe hacerse muy cuidadosamente. Por ejemplo, un canal trapezoidal ancho no necesariamente conduce a una reducción del valor de β, porque el aumento del ancho superior T dará como resultado una disminución de la profundidad hidráulica D, lo que conducirá a un aumento de los números de Froude y Vedernikov.

9.  LA NATURALEZA DE β

El valor de β es menor no sólo para canales triangulares, sino también para canales estrechos. La Tabla 3 muestra los cálculos de β para seis canales de prueba diferentes (ver el recuadro a continuación) para conducir un caudal de referencia Q = 50 m³/s. Para emular el estudio de caso de La Paz, hemos asumido para estos canales de prueba un valor de n de Manning = 0,025 y una pendiente de fondo S = 0,057 (ver la Sección 11).

Canales de prueba: Un canal rectangular. Un canal trapezoidal. Un canal triangular con pendientes de lado iguales (z1 = 1 y z2 = 1). Un canal triangular con pendientes de lado diferentes (z1 = 0.5 y z2 = 1). Un canal angosto y profundo. Un canal rectangular muy angosto, para pasar Q/10 (el concepto de difusor, ver la Sección 10).

La Tabla 3 lleva a las siguientes conclusiones:

Conclusiones: β es bastante grande (β = 1.607) para un canal rectangular (i = 1). β se reduce algo (a β = 1.4) para un canal trapezoidal (i = 2). β se reduce a 1.333 para un canal triangular con pendientes de lado iguales (i = 3). β se reduce a 1.333 para un canal triangular con pendientes de lado diferentes (i = 4). β se reduce substancialmente (a β = 1.366) para un canal angosto y profundo (i = 5). β se reduce substancialmente (a β = 1.231) para un canal muy angosto (for Q /10) (i = 6).

Para los canales de prueba dados, la Tabla 3 muestra que a medida que β disminuye, V también disminuye. En particular, para los casos de prueba 2 a 6, el número de Vedernikov permanece V < 1, asegurando la estabilidad del flujo y la consiguiente ausencia de ondas de rollo. Además, para la sección muy estrecha (i = 6), β se reduce aún más, a β = 1,269, con un correspondiente V = 0,181, este último considerado un valor definitivamente bajo. Concluimos que el parámetro β es de suma importancia en el diseño hidráulico de canales para evitar la inestabilidad del flujo y las ondas de rollo asociadas con esta condición.

10.  CONTROL MECÁNICO DE LAS ONDAS DE ROLLO

El criterio de Vedernikov se considera una condición necesaria, pero puede ser no suficiente para la ocurrencia de ondas de rollo (véase la Sección 5). Dado que existe una escala preferencial de números de onda adimensionales para la propagación de ondas de rollo (Fig. 8), la ocurrencia de un evento de onda de rollo también puede depender de la condición de contorno aguas arriba, es decir, de la escala espacial (adimensional) de la onda entrante. Por lo tanto, existe una situación aleatoria en la ocurrencia de un evento de onda de rollo, lo cual impide que ocurra con demasiada frecuencia o, inclusive, a intervalos de tiempo regulares.

Además de la evaluación precisa del número de Vedernikov, las ondas de rollo también pueden controlarse atenuando mecánicamente (es decir, difusionando) los números de onda preferenciales si estuvieran presentes en las vecindades de la entrada al canal revestido. Esto puede lograrse colocando (construyendo) un difusor de momento, o impulso (momentum diffuser) en el inicio del canal revestido, o muy próximo a él. Un difusor de momento separa el flujo en una serie de canaletas estrechas (Fig. 13). La fricción adicional del fondo y los costados, junto con la pequeña relación de aspecto (B/y) de las canaletas del difusor, causan la disminución en el valor de β (Fig. 14). Este hecho se confirma con los datos de la Tabla 3, línea 6, para la cual β = 1,231 y V = 0,157.

En la práctica, un difusor de momento correctamente diseñado probablemente requerirá una modelación física y/o matemática para determinar adecuadamente sus propiedades hidráulicas y dimensionar sus características geométricas.

11.  ESTUDIO DE CASO:  TRIBUTARIOS DEL RÍO LA PAZ, BOLIVIA

Los hallazgos de este artículo se complementan con un estudio de caso de dos afluentes del río La Paz, que atraviesan la ciudad de Nuestra Señora de La Paz, comúnmente conocida simplemente como La Paz, en el departamento del mismo nombre, Bolivia. El departamento de La Paz se muestra en color vino, inmediatamente al este de Perú en el mapa de la derecha (Fig. 15). Nótese la ubicación aproximada de la cuenca hidrográfica como el pequeño punto azul dentro del departamento.

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SMGIR

La cuenca del río La Paz comprende 496,4 km² y cuenta con seis (6) afluentes: (1) Choqueyapu, (2) Orkhojahuira, (3) Irpavi, (4) Achumani, (5) Jillusaya y (6) Huayñajahuira (Fig. 15). En la temporada de lluvias 2018-19, que comprende el período de octubre de 2018 a abril de 2019, se han documentado varios eventos de oleaje en los ríos Achumani y Huayñajahuira. Los detalles se muestran en la Tabla 4.

Los canales se construyen utilizando muros de mampostería de piedra, con los lechos de canal sin revestimiento; consulte las Figuras 16 y 17. La mayoría de los tramos del canal tienen caídas verticales en el cauce para la reducción y control de la pendiente (Tabla 4). Se ha calculado un valor aproximado de celeridad de onda c = 10,5 m/s a partir de videos disponibles de eventos de ondas de rollo. Por lo tanto, asumiendo un valor de β ≈ 1.5, la velocidad media del flujo (ahora denominada v) puede aproximarse de la siguiente manera:  v = c / β = 7 m/s.

A la espera de estudios más detallados, el coeficiente de fricción de Manning se ha estimado en n = 0,030 para el río Achumani (Fig. 16), y n = 0,025 para el río Huayñajahuira (Fig. 17) (Chow, 1959).

La Tabla 5 muestra los cálculos de β y V para siete (7) tramos de canal seleccionados (estaciones) con pendientes locales relativamente pronunciadas (S_local ≥ 0.034; Tabla 4). Con el fin de comparar eventos de frecuencia similar, las profundidades de flujo se establecieron para pasar el mismo caudal, elegido como Q₂₅ = 106.1 m³/s para el río Achumani, y Q₂₅ = 30.97 m³/s para el río Huayñajahuira (Plan Maestro de Drenaje, 2007). Se confirma que las velocidades de flujo promedio calculadas que se muestran en la Tabla 5 están alrededor de v = 7 m/s, una clara indicación de que la fricción del canal se ha estimado correctamente.

Se observa que todos los tramos del canal considerados tienen números de Vedernikov V > 1, lo que confirma las condiciones hidráulicas en las que es probable que se produzcan ondas de rollo. Además, se muestra que todos los tramos tienen β > 1.6, es decir, claramente cerca del límite superior del rango factible (1 ≤ β ≤ 1.67).

La existencia de caídas en el canal añade un poco de complejidad al análisis, ya que el flujo ya no se puede considerar estrictamente unidimensional. Por lo tanto, el presente análisis es solo una aproximación, sujeta a una detallada verificación de campo en el momento apropiado.

12.  CONCLUSIONES

Se examinan los fundamentos teóricos y la experiencia relacionada con la inestabilidad del flujo en canales abiertos con el objetivo de controlar las ondas de rollo. Estas últimas parecen repetirse con relativa frecuencia en ríos canalizados en los cuales el número de Vedernikov ha aumentado, debido a la canalización, por encima del umbral V = 1 (Haga click en la Fig. 18 al final de este artículo para ver un video de un evento de onda pulsante). La canalización con secciones transversales rectangulares generalmente aumenta el valor de β, el exponente de la curva de gasto caudal-área de flujo, lo que produce un aumento en el número de Vedernikov por encima del umbral de inestabilidad del flujo (V = 1).

Se demuestra que la elección de β (en la etapa de diseño) es de suma importancia en el control de las ondas de rollo. Varios ejemplos apuntan de manera concluyente a la existencia de una relación definida entre β y V, a saber, que a medida que la forma de la sección transversal se aleja de rectangular, hacia trapezoidal y triangular, β disminuye correspondientemente, lo cual reduce el valor de V. Una disminución suficiente de β hará que V caiga por debajo del umbral de inestabilidad.

La teoría de propagación de ondas poco profundas revela la existencia de una escala espacial preferencial para la amplificación de perturbaciones superficiales (V ≥ 1) (Fig. 8). Por lo tanto, el criterio de Vedernikov puede no ser suficiente para producir ondas de rollo en todos los casos. Esto puede depender de las condiciones de flujo aguas arriba, en la entrada al canal revestido, las cuales probablemente sean de naturaleza estocástica. Se introduce y explica la provisión de un difusor de momento, el cual está indicado para atenuar las ondas de rollo en el punto donde suelen originarse, es decir, en las proximidades de la entrada. Se recomienda análisis y experimentación adicionales para llevar el concepto de difusor de momento a la etapa constructiva.

La metodología presentada en este artículo se ha aplicado a dos ríos canalizados en La Paz, Bolivia, en los cuales se ha comprobado que las grandes ondas de rollo (ondas pulsantes) recurren con una frecuencia bastante preocupante. El análisis confirma que donde se han producido ondas de rollo en estos ríos canalizados, lo han hecho bajo β > 1.6 y V > 1. Los resultados subrayan la promesa del análisis de β en el diseño hidráulico de ríos canalizados con el objetivo de controlar las ondas de rollo.

REFERENCIAS

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SMGIR

Fig. 18  Evento de ondas de rollo en el río Huayñajahuira ocurrido el 30 de abril de 2019.

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