1.1  FLUJO EN CANALES ABIERTOS

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El flujo en canales abiertos tiene una superficie libre y por lo tanto, está sujeto a la presión atmosférica (Fig. 1-1). Por el contrario, el flujo en conductos cerrados o tuberías, no tiene una superficie libre, estando sujeto solamente a una cierta presión hidráulica. Debido a su superficie libre, el análisis de flujo en un canal abierto es generalmente más complejo que el del flujo en un conducto cerrado. Es probable que la superficie libre varíe en el espacio y en el tiempo. Cuando la superficie libre varía en el espacio, el flujo se conoce como variado; cuando varía en el tiempo, se conoce como no permanente.

Fig. 1-1  Un canal abierto es utilizado para transportar agua de riego (canal de irrigación).

En el flujo en conductos cerrados, la sección transversal está fijada por las paredes internas de la tubería, y generalmente es constante. Por lo contrario, en el flujo en canales abiertos, la sección transversal no es fija, variando con el flujo. En el flujo en conductos cerrados la rugosidad varía desde latón suave a tuberías corroídas; en el flujo en canales abiertos la rugosidad varía desde vidrio acrílico (un tipo muy suave de plástico) a la de los cauces fluviales naturales y sus llanuras de inundación adyacentes.

En el flujo en conductos cerrados, la presión hidráulica en el centro de la tubería define la línea de gradiente hidráulico (HGL en la Fig. 1-2). La presión hidráulica (carga de agua) medida sobre la línea central de la tubería se conoce como la carga piezométrica. La línea del gradiente de energía incluye la carga de velocidad h_v = V ²/(2g) en la sección transversal. La pérdida de carga, o la pérdida de carga por fricción, de la Sección 1 a la Sección 2 es h_f.

Fig. 1-2  Esquema del flujo de conducto cerrado.

En el flujo en canal abierto, la profundidad de flujo medida sobre el fondo del canal define la elevación de la superficie del agua, la cual es equivalente a la línea del gradiente hidráulico del flujo en el conducto cerrado; ver Fig. 1-3. La carga total de la línea del gradiente de energía incluye la carga de velocidad h_v = V ²/(2g) en la sección transversal. La pérdida de carga, o la pérdida de carga por fricción, de la Sección 1 a la Sección 2 es h_f.

Fig. 1-3  Esquema de flujo en canales abiertos.

Hay una diferencia entre el flujo en un conducto cerrado y el flujo en un canal abierto. En el flujo en un conducto cerrado, el agua se elevará en el tubo piezométrico hasta el nivel donde éste defina la línea del gradiente hidráulico asociada con la presión hidráulica en el conducto. De otro modo, en el flujo en un canal abierto, la superficie del agua es la línea del gradiente hidráulico, la cual se encuentra a presión atmosférica.

1.2  TIPOS DE FLUJO

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Existen dos tipos de secciones transversales en un canal:

1. Prismática, y

2. No prismática.

Los canales artificiales son por lo general prismáticos, de forma y tamaño constantes a lo largo de gran parte de la longitud del canal. Por el contrario, generalmente los canales naturales son no prismáticos, es decir, la forma y tamaño de la sección transversal varían a lo largo del canal. A los canales artificiales se les conoce simplemente como canales.

Varias propiedades geométricas e hidráulicas ayudan a describir un canal (Fig. 1.4). Éstas son:

• Flujo, caudal, o descarga Q,

• Área hidráulica de la sección transversal al flujo A,

• Velocidad media V, en la cual V = Q /A,

• Perímetro mojado P,

• Ancho de la superficie libre T,

• Radio hidráulico R, en el cual R = A /P,

• Profundidad hidráulica D, en la cual D = A /T,

• Ancho del fondo del canal B,

• Elevación del fondo del canal z,

• Tirante, profundidad o calado d,

• Altura total o elevación de la superficie libre, en la cual y = z + d.

Fig. 1-4  Ilustración de las propiedades geométricas en un canal.

En los canales prismáticos, el tirante d generalmente se describe como y, particularmente cuando no se puede confundir con la elevación de la superficie libre (sobre el nivel de referencia). Además, el talud del canal se describe como z H: 1 V, particularmente cuando no se puede confundir con la elevación del fondo del canal.

Clasificación del flujo en canales

El flujo en canales abiertos se puede clasificar como sigue:

• Permanente o no permanente.

• Uniforme o en equilibrio.

• Gradualmente variado o rápidamente variado.

• Espacialmente variado.

El flujo es permanente cuando las variables hidráulicas (flujo, área de flujo, velocidad media, profundidad del flujo, etc.) no varían con el tiempo. Por el contrario, el flujo es no permanente cuando las variables hidráulicas varían con el tiempo y el espacio. El flujo permanente es relativamente más sencillo de calcular que el flujo no permanente.

El flujo es uniforme cuando el canal es prismático y las variables hidráulicas (Q, A, V, d, etc.) son constantes en el tiempo y en el espacio. El flujo está en equilibrio cuando el canal no es prismático y las variables hidráulicas son aproximadamente constantes en el tiempo y el espacio. El cálculo del flujo uniforme es relativamente sencillo en comparación con el de otros estados de flujo.

El flujo es gradualmente variado cuando la descarga Q es constante pero las otras variables hidráulicas (A, V, d, etc.) varían gradualmente en el espacio. En el flujo gradualmente variado, la distribución de presiones en la dirección vertical, normal al flujo, es aproximadamente igual a la hidrostática, es decir, es proporcional a la profundidad de flujo.

El flujo es rápidamente variado cuando la descarga es constante pero las otras variables hidráulicas (A, V, d, etc.) varían rápidamente en el espacio. Por lo tanto, no es posible asumir que la presión es hidrostática en la dirección vertical. El cálculo del flujo gradualmente variado es complicado pero factible, mientras que el cálculo del flujo rápidamente variado es generalmente más complejo, y está basado en fórmulas empíricas, en ausencia de una solución teórica.

El flujo es espacialmente variado cuando la descarga Q varía en el espacio solamente, es decir, a lo largo del canal. Generalmente, dicha variación se debe a la entrada o salida lateral de flujo.

Ocurrencia de diferentes tipos de flujo

El flujo uniforme ocurre en un canal prismático (Fig 1-5); el flujo permanente en equilibrio ocurre en un canal no prismático. El flujo uniforme no permanente no existe, ya que el flujo no puede ser uniforme y variable al mismo tiempo. La palabra "no permanente" implica ausencia de equilibrio; por lo tanto, no existe flujo no permanente en equilibrio.

Fig. 1-5  Flujo uniforme en un canal de irrigación; Proyecto Wellton-Mohawk, Wellton, Arizona.

El flujo gradualmente variado se define por medio de perfiles de la superficie del agua; a estos perfiles también se les conoce como curvas de remanso (Capítulo 7). El flujo no permanente gradualmente variado es el cálculo de los flujos de inundación, o tránsito de avenidas (Capítulo 10).

El flujo permanente rápidamente variado está representado por el flujo sobre vertederos o el resalto hidráulico. Por otro lado, el flujo no permanente rápidamente variado está representado por el resalto hidráulico en movimiento, marejadas, ondas de rollo, choques cinemáticos y grandes olas de marea (Capítulo 11). La Figura 1-6 muestra un tren de ondas de rollo en un canal de riego de pendiente pronunciada.

El flujo espacialmente variado ocurre cuando el caudal varía a lo largo del canal, debido a contribuciones o extracciones laterales.

Fig. 1-6  Ondas de rollo en un canal de pendiente pronunciada, Proyecto Cabana-Mañazo, Puno, Perú.

1.3  ESTADO DE FLUJO

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El estado de flujo de un canal puede ser descrito en base a ciertas velocidades y viscosidades características. La velocidad es la relación de la longitud (distancia) sobre el tiempo, con unidades L T ^-1. La viscosidad es el primer momento de la velocidad, con unidades L² T ^-1. En la hidráulica de canales, el término difusividad se utiliza como sinónimo de viscosidad. Dos relaciones de velocidad y dos de difusividad completan la caracterización del flujo en canales.

Relaciones de velocidad

Existen tres velocidades características en el flujo en canales:

1. La velocidad media u del flujo uniforme;

2. La velocidad, o celeridad c_k de la onda cinemática; y

3. La velocidad, o celeridad (en realidad, dos celeridades) c_d de la onda dinámica.

La velocidad media del flujo uniforme se define usando la ecuación de Manning (unidades SI):

1 u  =  _____ R 2/3 S 1/2            n

(1-1)

en la que n = coeficiente de fricción de Manning, R = radio hidráulico, y S = pendiente de fricción.

Para la ecuación de Chezy, la velocidad media del flujo uniforme es:

u  =  C R 1/2 S 1/2

(1-2)

en la que C = coeficiente de Chezy.

El control de volumen de flujo en canales está sujeto a la acción por cuatro fuerzas: fricción, gravedad, gradiente de presión (o profundidad de flujo), e inercia. Las ondas cinemáticas son aquéllas donde el balance del momento es expresado solamente en base a las fuerzas de fricción y gravedad (Lighthill y Whitham, 1955).

La celeridad de la onda cinemática, o celeridad de Seddon, es (Seddon, 1990; Chow, 1959; Ponce, 1989):

ck  =  β u

(1-3)

en la cual β = exponente de la relación entre descarga y área de flujo:

Q = α Aβ

(1-4)

La onda dinámica es aquélla para la cual el balance del momento se define solamente en base a las fuerzas del gradiente de presión e inercia. La celeridad de la onda dinámica es:

cd  =  u  ±  (g D )1/2

(1-5)

en la cual g = aceleración de la gravedad, y D = profundidad hidráulica, D = A /T.

De la Ec. 1-3, la celeridad relativa de la onda cinemática es:

v  =  (β - 1) u

(1-6)

De la Ec. 1-5, el valor absoluto de la celeridad relativa de la onda dinámica es:

w  =  (g D )1/2

(1-7)

En canales rectangulares, para los cuales D = d, o en canales hidráulicamente anchos, para los cuales D ≅ d, la celeridad relativa de la onda dinámica es:

w  =  (g d )1/2

(1-8)

La Ec. 1-8 es la celeridad relativa de Lagrange, en honor a Lagrange (1788), quien fue el primero en derivarla.

Número de Froude

El número de Froude se define como sigue (Chow, 1959):

u F  =  _____            w

(1-9)

El número de Froude clasifica al flujo en:

• F < 1:  Flujo subcrítico, para u < w,

• F = 1:  Flujo crítico, para u = w,

• F > 1:  Flujo supercrítico, para u > w.

En el flujo subcrítico, las ondas superficiales (perturbaciones) pueden trasladarse aguas arriba, ya que la celeridad -w es mayor que la velocidad media del flujo u.

En el flujo crítico, las ondas superficiales (perturbaciones) permanecen estacionarias, ya que su celeridad (absoluta) w es igual a la velocidad media del flujo u.

En el flujo supercrítico, las ondas de superficiales (perturbaciones) pueden trasladarse únicamente aguas abajo, debido a que su celeridad -w es menor que la velocidad media del flujo u.

El Número de Vedernikov

El número de Vedernikov se define como sigue (Vedernikov, 1945; 1946; Powell, 1948; Craya, 1952):

v V  =  _____            w

(1-10)

El número Vedernikov clasifica al flujo en:

• V < 1:  Flujo estable, donde v < w,

• V = 1:  Flujo neutralmente estable , donde v = w,

• V > 1:  Flujo inestable, donde v > w.

En el flujo estable, la celeridad relativa de la onda cinemática v es menor que la celeridad relativa de la onda dinámica w; por lo tanto, las ondas superficiales (perturbaciones) tienen la capacidad de disiparse.

En el flujo neutralmente estable, la celeridad relativa de la onda cinemática v es igual a la celeridad relativa de la onda dinámica w; por lo tanto, las ondas superficiales (perturbaciones) no se atenúan ni se amplifican. La amplificación y la disipación se cancelan mutuamente.

En el flujo inestable, la celeridad relativa de la onda cinemática v es mayor que la celeridad relativa de la onda dinámica w. Por lo tanto, las ondas superficiales (perturbaciones) tienden a amplificarse. En la práctica, la condición V ≥ 1 conduce al desarrollo de las ondas de rollo, un tren de ondas que viaja aguas abajo, usualmente en canales de pendiente pronunciada (Cornish, 1907) (Fig. 1-7).

Cornish Fig. 1-7  Ondas de rollo en un canal de riego en los Alpes suizos.

Historia del Número de Froude

William Froude nació en Dartington, Devon, Inglaterra, el 28 de Noviembre de 1810 y falleció de un derrame cerebral durante un crucero en Simonstown, Sudáfrica, a los 69 años. Froude fue ingeniero y arquitecto naval. Adquirió su formación en matemáticas en Oxford en 1832. Inmediatamente después de su graduación, trabajó como topógrafo para Isambard Kingdom Burnel, el afamado empresario de ferrocarriles, en el Great Western Railway, en Inglaterra. En 1857, Brunel le pidió asistencia para mejorar el comportamiento de la nave Great Eastern en altamar. Siguiendo las sugerencias de Froude, Brunel modificó el diseño de la nave para minimizar el momento de volteo. A partir de 1859, Froude construyó el primer tanque de remolque a pequeña escala. En dicho tanque llevó a cabo experimentos de modelos de barcos. Este trabajo lo hizo en su casa en Paignton; posteriormente trabajó en su otra casa, ubicada en Torquay, llamada Chelston Cross. En 1861, Froude escribió un artículo sobre el diseño de la estabilidad de barcos. El artículo fue publicado en las Actas de la Institución de Arquitectos Navales. Posteriormente, entre 1863 y 1867, Froude demostró que la escala entre modelo y prototipo se puede aplicar cuando la velocidad (V) es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud (L). A este concepto Froude le llamó la Ley de Comparación. Ésta es: V = k (L)1/2 en la cual k es el número que se aplica tanto al modelo como al prototipo. Esta ley se conoce como la ley de Froude, a pesar de que él mismo reconoció que Ferdinand Reech (1805-1850) presentó el mismo concepto veinte años antes. El trabajo de Froude fue innovador ya que fue el primero en identificar la forma de mayor eficiencia para los cascos de los barcos. Además, pudo predecir la estabilidad hidrodinámica en base a estudios en modelos a escala reducida. En la hidráulica de canales, la ley de Froude se expresa en términos del número que lleva su nombre: F = V / (gD) 1/2 en la cual V = velocidad media, D = profundidad hidráulica, y g = aceleración de la gravedad. A diferencia de la relación original (k), el número de Froude F es adimensional. La L ha sido reemplazada por D para representar de mejor manera la fuerza de gravedad en el flujo.

El exponente β de la relación descarga-área

Las tres velocidades u, v, y w conducen a dos relaciones independientes de velocidad: los números de Froude (Eq. 1-8) y Vedernikov (Eq. 1-9). La tercera relación:

v            V β - 1  =  _____  =  _____                 u            F

(1-11)

es la celeridad relativa adimensional de la onda cinemática, la cual es equivalente al exponente de la relación descarga-área menos 1. Por lo tanto, el exponente β de la Ec. 1-4 es una función de ambos números: el de Froude y el de Vedernikov.

El valor de β varía con el régimen de fricción (laminar, transicional, o turbulento, y Manning o Chezy) y con la forma de la sección transversal. En el flujo laminar, β = 3. En el flujo turbulento con la fricción de Manning: 1 ≤ β ≤ 5/3, dependiendo de la forma de la sección transversal. En el flujo turbulento con la fricción de Chezy: 1 ≤ β ≤ 3/2, dependiendo de la forma de la sección transversal.

Tipos de secciones transversales

En la hidráulica de canales existen tres tipos asintóticos de secciones transversales:

1. El canal hidráulicamente ancho, para el cual el perímetro mojado P es una constante (Ponce y Porras, 1995). En este caso, β = 5/3 con la fricción de Manning, y β = 3/2 con la fricción de Chezy. Una sección transversal es considerada hidráulicamente ancha cuando la relación entre el ancho de superficie y el tirante T/d es mayor que 10. En la práctica, la mayoría de los canales naturales son hidráulicamente anchos (Fig. 1-8).
   

   Nuccitelli Fig. 1-8  Río Mississippi en Mud Island, Memphis, Tennessee.

2. El canal triangular, para el cual el ancho de superficie T es proporcional al tirante d (Fig. 1-9). Con la fricción de Manning, β = 4/3, y con la fricción de Chezy, β = 5/4. El drenaje de carreteras (canaletas) con frecuencia se hace con secciones transversales triangulares.

   Fig. 1-9  Definición de una sección triangular transversal.

3. El canal inherentemente estable, para el cual el radio hidráulico R es una constante (Ponce y Porras, 1995). En este caso, β ≡ 1 (Fig. 1-10).

   Fig. 1-10   Un canal inherentemente estable.

Flujo neutralmente estable

Para la estabilidad neutral, el número de Vedernikov V es igual a 1. Por lo tanto, de acuerdo con la Ec. 1-11, el número de Froude correspondiente al flujo neutralmente estable es:

1 Fns  =  ________               β - 1

(1-12)

La Tabla 1-1 muestra los valores de F_ns para diversos valores de β. Se observa que cuando β varía de 3 (flujo laminar) a 1 (sección inherentemente estable), los valores de F_ns varían de F_ns = 1/2 a F_ns = ∞. En otras palabras, cuando β ⇒ 1, F_ns ⇒ ∞.

En la práctica, el valor de fricción tiene un límite inferior. Por lo tanto, el número de Froude tiene un limite superior, aproximadamente F ≅ 25. Así, en la mayoría de los casos, un valor de β = 1.04 ya sería estable para propósitos prácticos.

La Tabla 1-1 muestra que los valores de β para canales y para flujo laminar están limitados en el rango 1 ≤ β ≤ 3. Sin embargo, para una alcantarilla circular que fluye casi llena, β puede llegar a alcanzar valores un poco menores que 1 (Chow, 1959).

Relaciones de viscosidad

Existen tres clases o tipos de viscosidad de flujo en canales:

1. La viscosidad interna, o viscosidad cinemática ν del fluído,

2. La viscosidad externa (o difusividad hidráulica ν_h) del flujo permanente; y

3. La viscosidad externa (o difusividad de onda ν_w) del flujo transitorio.

La viscosidad cinemática ν del fluido varía en función de la temperatura (Apéndice A).

El concepto de difusividad hidráulica ν_h se debe a Hayami (1951). Hayami combinó las ecuaciones que rigen el comportamiento del flujo en canales abiertos (Capítulo 10), obteniendo una ecuación de convección-difusión única; es decir, una ecuación que describe la convección (un proceso de primer orden) y difusión (un proceso de segundo orden) de una onda de avenida. La difusividad hidráulica se define como sigue:

qo νh  =  _______             2 So

(1-13)

en la cual q_o = descarga de equilibrio, por unidad de ancho, y S_o = pendiente de fricción (pendiente de la línea de energía). Por lo tanto, la difusión de la onda de avenida es directamente proporcional a la descarga de equilibrio por unidad de ancho, e inversamente proporcional a la pendiente de fricción.

La ecuación 1-13 se expresa en términos de la velocidad y la profundidad del flujo como sigue:

uo do νh  =  _________               2 So

(1-14)

Un valor relacionado a la difusividad, pero independiente de la pendiente, es:

νh'  =   uo do

(1-15)

Por lo general, para cualquier forma de sección transversal:

νh'  =   uo Ro

(1-16)

en la cual R_o = radio hidráulico.

En la teoría de la onda cinemática, la longitud característica de tramo se define de la siguiente manera (Lighthill and Whitham, 1955):

do Lo  =  ______              So

(1-17)

en la que L_o es la longitud del canal en la cual el flujo de equilibrio tiene una pérdida de carga (caída) equivalente a su profundidad. Por lo tanto, en términos de la longitud característica de tramo, la difusividad hidráulica es:

uo Lo νh  =  _______               2

(1-18)

De manera semejante a la difusividad hidráulica, la difusividad de onda se define como sigue:

uo L νw  =  _______              4 π

(1-19)

en la cual L = longitud de onda.

El Número de Reynolds

El número de Reynolds R es (Chow, 1959):

vh'           uo Ro R  =  ______  =  ________             ν                ν

(1-20)

El número de Reynolds R clasifica al flujo en:

1. Laminar,

2. Transicional, o

3. Turbulento.

Bajo condiciones de flujo permanente en un canal, el flujo laminar está representado por R ≤ 500 y el flujo turbulento con R > 2000. El flujo de transición está representado por el rango intermedio: 500 < R ≤ 2000. Bajo flujo transitorio, el flujo laminar-turbulento mixto que se muestra en la Tabla 1-1 es similar al flujo transicional, por lo que muestra un rango comparable en el número de Reynolds.

En la práctica, la mayoría de los casos de flujo en canales se encuentran sujetos a un régimen turbulento. Por el contrario, la mayoría de los casos de flujo en planos de superficie libre se encuentran bajo régimen laminar o laminar-turbulento mixto.

El número de onda adimensional

El número de onda adimensional σ se define como sigue (Ponce y Simons, 1977):

νh           2 π σ  =  ______  =  _____  Lo            νw            L

(1-21)

El número de onda σ describe la escala adimensional de longitud de onda, como se muestra en la Fig. 1-11, en términos de: (a) ondas cinemáticas, (b) ondas dinámicas, y (c) ondas cinemáticas-dinámicas combinadas. La Figura 11 es aplicable a la fricción de Chezy en los canales hidráulicamente anchos.

Bajo el flujo cinemático, el cual se muestra en el lado izquierdo de la Fig. 1-11:

• El balance del momento se describe en términos de las fuerzas de fricción y de gravedad solamente,

• Prevalece la celeridad relativa adimensional de la onda cinemática (Ec. 1-3), la cual es una constante para todos los números de onda y de Froude, y

• La atenuación de la onda es teóricamente cero.

Bajo el flujo dinámico, el cual se muestra en el lado derecho de la Fig. 1-11:

• El balance del momento se describe en términos del gradiente de presión e inercia solamente,

• Prevalece la celeridad relativa adimensional de la onda dinámica (Ec. 1-5), la cual es una constante para todos los números de onda, y variable con el número de Froude, y

• La atenuación de la onda es teóricamente cero.

Bajo el flujo cinemático-dinámico mixto, el cual se muestra en la sección central de la Fig. 1-11:

• El balance del momento considera las cuatro fuerzas presentes en el flujo transitorio en canales (fricción, gravedad, gradiente de presión, e inercia),

• No hay celeridad característica, por lo que la onda se encuentra sujeta a una atenuación muy pronunciada dentro del rango medio de números de onda adimensionales, y

• Para cada curva que se muestra en la Fig. 1-11, el punto de inflexión representa la atenuación máxima (Vea el Capítulo 10) (Ponce y Simons, 1977).

Fig. 1-11   Celeridad de onda de propagación en el flujo de canales. (Ponce y Simons, 1977).

Difusividad hidráulica dinámica

La difusividad hidráulica dinámica considera el balance completo de momento (Dooge et al., 1982; Ponce, 1991a; 1991b), a diferencia de la difusividad hidráulica de Hayami, Ec. 1-18. La difusividad hidráulica dinámica es:

uo Lo νh  =  _______  (1 - V 2)               2

(1-22)

Para números de Vedernikov bajos, V ⇒ 0, la difusividad hidráulica dinámica se reduce a la difusividad hidráulica cinemática, es decir, la Ec. 1-18. Por el contrario, para el caso en que el número de Vedernikov sea alto, V ⇒ 1, la difusividad hidráulica dinámica se desvanece por completo. La ausencia total de la atenuación de la onda conduce al desarrollo de las ondas de rollo (Figs. 1-6 y 1-7).

1.4  REGÍMENES DE FLUJO

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Los regímenes de flujo en canales son:

1. Laminar,

2. Transicional, y

3. Turbulento.

Los regímenes de flujo se caracterizan por el número de Reynolds R, Ec. 1-20. En el flujo en canales, el régimen laminar prevalece cuando R ≤ 500, el régimen transicional cuando 500 < R ≤ 2000, y el régimen turbulento cuando R > 2000.

Los regímenes de flujo varían de acuerdo a la rugosidad de la superficie del canal. La Figura 1-12 muestra la relación entre el número de Reynolds R y el factor de fricción de Darcy-Weisbach f para el flujo en canales lisos. La Figura 1-13 muestra la relación entre el número de Reynolds R y el factor de fricción para el flujo en canales rugosos.

La fórmula de fricción de Darcy-Weisbach, aplicable al flujo en tuberías, es:

L        V 2 hf  =  f  _____   ______               do        2 g

(1-23)

en la cual h_f = pérdida de carga por fricción; f = factor de fricción de Darcy-Weisbach; L = longitud de la tubería; d_o = diámetro de la tubería; V = velocidad media de flujo; y g = aceleración de la gravedad.

Fig. 1-12  La relación f-R para el flujo en canales lisos (Chow, 1959).

Fig. 1-13  La relación f-R para el flujo en canales rugosos (Chow, 1959).

Las Figuras 1-12 y 1-13 permiten las siguientes conclusiones:

• El flujo laminar prevalece cuando los números de Reynolds son bajos. En estos casos, el factor de fricción de Darcy-Weisbach es inversamente proporcional al número de Reynolds. Por lo general:

  K f  =  _____           R

  (1-24)

  en la cual K es una constante que varía entre 14 (para canales triangulares) y 24 (para canales rectangulares, para superficies de canales lisos; y entre 33 y 60 para superficies de canales rugosos.

• El rango transicional no está bien definido, ya que depende hasta cierto punto de la forma del canal. Para fines prácticos, se puede suponer que el rango transicional para el flujo en canales es: 500 ≤ R ≤ 2000.

• En el flujo turbulento, la relación entre f y R está dada por la fórmula de Blasius (Chow, 1959):

  0.223 f  =  _________           R 0.25

  (1-25)

  Esta ecuación es válida para números de Reynolds en el rango  750 ≤ R ≤ 25,000.

• Von Karman desarrolló una expresión general para la relación entre f and R. Esta ecuación fue posteriormente modificada por Prandlt. La ecuación de Prandtl-von Karman es (Chow, 1959):

  1           _______  =   2 log (R f 1/2 )  +  0.4   f 1/2

  (1-26)

  Nótese que la ecuación de Prandtl-von Karman se puede expresar en forma explícita de la siguiente manera:

  1           R  =   _______  10 [ ( 1 - 0.4 f 1/2 ) / ( 2 f 1/2 ) ]              f 1/2

  (1-27)

El factor de fricción de Darcy-Weisbach para el flujo en canales

La fórmula de Darcy-Weisbach, Ec. 1-23, es generalmente aplicable al flujo en conducto cerrado (tuberías). Para el flujo en tuberías, la longitud de fricción característica es el diámetro d_o. Para su aplicación al flujo en canales, la longitud de fricción característica es el radio hidráulico R, es decir, la relación del área de flujo al perímetro mojado:

A R  =  ______             P

(1-28)

El área de flujo de un tubo circular (que fluye lleno) es A = π d_o²/4, y el perímetro mojado es P = π d_o. Por lo tanto, el radio hidráulico es igual a 1/4 del diámetro del tubo; o a la inversa, que el diámetro es igual a cuatro (4) veces el radio hidráulico. Por lo tanto, la fórmula de Darcy-Weisbach aplicable al flujo en canales es:

L         V 2 hf  =  f  ______   ______                4R        2g

(1-29)

en la cual V = velocidad media del flujo.

La pendiente de la línea de energía en el flujo en canales es la misma que la pendiente de fricción, del lecho o del fondo, bajo flujo permanente. La pendiente es:

hf                 V 2           f        V 2 S  =   ______  =  f   _______  =  ___   _______              L                 8gR          8       gR

(1-30)

Para una sección transversal cualquiera, el número de Froude es:

V F  =  __________            (gD)1/2

(1-31)

en la cual D = profundidad hidráulica: D = A /T.

La ecuación 1-30 se puede expresar en términos del número de Froude:

f        D S  =  ___   _____   F 2           8       R

(1-32)

La Ecuación 1-32 establece la proporcionalidad entre la pendiente de la línea de energía y el número de Froude. El factor de proporcionalidad es función del factor de fricción de Darcy-Weisbach y el factor de forma D/R.

En un canal hidráulicamente ancho, para el cual D ≅ R, la Ec. 1-32 se reduce a:

f        S  =  ___   F 2           8

(1-33)

En el caso de un canal hidráulicamente ancho, el factor de proporcionalidad entre la pendiente de la línea de energía y el número de Froude es solamente una función del factor de fricción de Darcy-Weisbach. Por conveniencia, para el flujo en canales se puede utilizar un factor de fricción modificado de Darcy-Weisbach f, igual a 1/8 del factor de fricción convencional. La ecuación modificiada de Darcy-Weisbach para el flujo en canales es:

S  =  f F 2

(1-34)

La Tabla 1-2 muestra los valores aproximados del factor de fricción f y el factor de fricción modificado f correspondiente para valores seleccionados de R en el rango turbulento.

PREGUNTAS

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1. ¿Cuál es la diferencia entre la profundidad de flujo (o tirante d) y la profundidad hidráulica D?

2. ¿Es posible el flujo uniforme transitorio?

3. ¿Cuáles son las cuatro fuerzas que actúan en el balance del momento en el flujo en canales?

4. ¿Qué es una onda cinemática?

5. ¿Qué es una onda dinámica según Lagrange?

6. ¿Cuál es la definición del número de Froude?

7. ¿Cuál es la definición del número de Vedernikov?

8. ¿Qué es el flujo neutralmente estable?

9. ¿Cuál es el rango normal del exponente β para el flujo en canales y flujo superficial?

10. ¿Qué tipo de fricción es descrita por un valor β = 2?

11. ¿Bajo que condición puede ser el valor de β menor que 1?

12. ¿Cuál es la definición del número de Reynolds?

13. ¿Cuál es el rango común para el número de Reynolds en el régimen de transición en el flujo en canales?

14. ¿Qué es el número de onda adimensional?

15. ¿Las ondas cinemáticas se atenúan?

16. ¿Las ondas dinámicas se atenúan?

17. ¿Las ondas cinemáticas-dinámicas mixtas se atenúan?

18. ¿Qué tipo de ondas en el flujo en canal se atenúa más?

19. ¿Bajo qué valor de número de onda adimensional la tasa de atenuación de las ondas cinemáticas-dinámicas mixtas alcanza su valor máximo?

20. ¿Cuál es la celeridad de onda cinemática relativa adimensional aplicable para la fricción de Chezy para un canal hidráulicamente ancho?

21. ¿Cuál es la longitud característica del tramo?

22. ¿Qué es la difusividad hidráulica?

23. ¿Para qué valor de pendiente del fondo la difusividad hidráulica es máxima?

24. ¿Qué es la difusividad hidráulica dinámica?

25. ¿Bajo qué condición de flujo desaparece la difusividad hidráulica dinámica?

26. En la práctica de la ingeniería hidráulica, a qué se refiere el término "onda dinámica"?

27. ¿Cuál es la fórmula modificada de Darcy-Weisbach modificada, aplicable al flujo en canales?

28. ¿Cuál es el rango típico del factor de fricción de Darcy-Weisbach f en el rango turbulento?

29. ¿Cuál es el rango típico del factor de fricción modificado de Darcy-Weisbach f en el rango turbulento?

30. ¿Existe un límite superior para el número de Froude? ¿Cómo se puede calcular?

PROBLEMAS

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1. Derive la expresión para el ángulo θ en un canal circular, en función de la profundidad de flujo y y el diámetro D, en la cual D = 2r (Fig. 1-14).

   Fig. 1-14 Definición de un canal circular.

2. Demuestre que la descarga máxima en un canal circular (Fig. 1-14) se obtiene para y = 0.94 D. Utilice CANAL ENLINEA 03. Explique la razón de este comportamiento.

3. Derive la fórmula para el área de flujo A, perímetro mojado P, y el ancho de superficie T para un canal trapezoidal, en términos de la profundidad de flujo y, el ancho de fondo b y la pendiente lateral  z H: 1 V (Fig. 1-15).

   Fig. 1-15 Definición de un canal trapezoidal.

4. Asuma un canal trapezoidal de profundidad de flujo y, ancho de fondo b, y la pendiente lateral z H: 1 V (Fig. 1-15). Derive una expresión para la relación ancho-profundidad b/y en función de α, la relación de la profundidad hidráulica D a la profundidad de flujo y. Dado z = 1, y α = 0.99, ¿Cuál es el valor de b/y?

5. Calcule la celeridad relativa adimensional de la onda cinemática aplicable a la fricción de Manning en un canal hidráulicamente ancho.

6. ¿Cuál es el valor de β para un canal hidráulicamente ancho cuando el número de Froude F = 1.8 y el número de Vedernikov V = 0.9?

7. Un canal hidráulicamente ancho tiene una profundidad de flujo de 1 m, y velocidad de flujo de 1.5 m/s. Calcule el número de Froude. Confirme con ONLINE FROUDE.

8. Un canal hidráulicamente ancho tiene un exponente de la curva de gasto β = 1.6. La profundidad de flujo es de 1 m, y la velocidad de flujo 1.5 m/s. Calcule el número de Vedernikov. Confirme con ONLINE VEDERNIKOV.

9. Dado un canal hidráulicamente ancho bajo la fricción de Manning, con velocidad media u = 1 m/s, profundidad de flujo d = 1 m, y la pendiente de fondo S = 0.001. Determine las difusividades hidráulicas cinemáticas y dinámicas.

10. Dado un canal hidráulicamente ancho con fricción de Chezy y profundidad de flujo d = 1 m. ¿Qué velocidad media hará que la difusividad hidráulica dinámica desaparezca?

11. De acuerdo a la fórmula de Blasius: ¿Cuál es el número de Reynolds R que corresponde a un factor de fricción de Darcy-Weisbach f = 0.03?

12. De acuerdo a la fórmula de Prandt-von Karman: ¿Cuál es el número de Reynolds R que corresponde a un factor de fricción de Darcy-Weisbach f = 0.03?

13. En un vertedero WES con pendiente aguas abajo de 0.6 H a 1 V, el factor de fricción Darcy-Weisbach es f = 0.03. Calcule el número de Froude máximo posible para estas condiciones de flujo.

14. Asumiendo un número de Froude máximo posible F = 25, calcule el valor de β que asegure el flujo neutralmente estable.

15. Un canal prismático está fluyendo muy cerca de flujo crítico. La pendiente del fondo es S = 0.004. ¿Cuál es el valor del factor de fricción modificado de Darcy-Weisbach f?

BIBLIOGRAFÍA

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